Enunciado

3 – 26 Derive.

21. f t = t 3 t - 3

Passo 1

Aobaa galerinha, simboraa

No caso do exercício dado, a função é f t = t 3 t - 3

Para derivar a função f ( t ) , utilizamos a regra do quociente e a regra da cadeia, quando necessário.

Quando temos uma função expressa como o quociente de duas funções,

f t = g t h t

a derivada de f ( t ) é dada pela fórmula:

f ' t = h t ⋅ g ' t - g t ⋅ h ' t h t 2

Onde g t e   h ( t ) são as funções no numerador e no denominador, respectivamente, e g ' t e   h ' ( t ) são suas derivadas em relação a t .

Para encontrar as derivadas das funções componentes, utilizamos as regras de diferenciação apropriadas. Por exemplo:

- A derivada de t 3 em relação a t é 1 3 t 2 3 que é derivada usando a regra da potência.

- A derivada de ( t - 3 ) em relação a t é simplesmente 1 , pois é uma função linear.

Após aplicar a regra do quociente e calcular as derivadas das funções componentes, simplificamos a expressão resultante para torná-la mais clara e mais fácil de entender.

Em resumo, ao derivar uma função como   f t = t 3 t - 3 , aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada e, em seguida, simplificamos a expressão resultante.

Passo 2

Precisamos usar a regra da divisão para derivarmos essa função:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

Aplicando na nossa equação:

f ' t = d d t t 3 ⋅ t - 3 - d d t t - 3 ⋅ t 3 t - 3 2

Nós podemos pensar na t 3 como sendo t 1 / 3 , então a derivada fica

f ' t = 1 3 t 1 / 3 - 1 ⋅ t - 3 - 1 ⋅ t 1 / 3 t - 3 2

f ' t = 1 3 t - 2 / 3 ⋅ t - 3 - t 1 / 3 t - 3 2

f ' t = 1 3 t 1 / 3 - t - 2 3 - t 1 / 3 t - 3 2

f ' t = - 2 3 t 1 / 3 - t - 2 / 3 t - 3 2

Passo 3

Já chegamos em uma expressão da derivada, mas podemos dar uma simplificada nela:

Podemos multiplicar por t 2 / 3 em cima e embaixo:

f ' t = - 2 3 t - 1 t 2 / 3 ⋅ t - 3 2

Multiplicando por 3 em cima e em baixo:

f ' t = - 2 t - 3 3 t 2 / 3 ⋅ t - 3 2

Resposta

f ' t = - 2 t - 3 3 t 2 / 3 ⋅ t - 3 2

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