Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

18. 5 cos ⁡ π x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = sen ⁡ ( 3 x ) ​, podemos encontrar as primeiras derivadas dela e tentar encontrar um padrão. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = 5 cos ⁡ π x → f 0 = 5 cos ⁡ 0 = 5

f ' x = - 5 π sen ⁡ π x → f ' 0 = - 5 π sen ⁡ 0 = 0

f ' ' x = - 5 π 2 cos ⁡ π x → f ' ' 0 = - 5 π 2 cos ⁡ 0 = - 5 π 2

f ' ' ' x = - 5 π 3 sen ⁡ π x → f ' ' ' 0 = - 5 π 3 sen ⁡ 0 = 0

Seguindo essa lógica e padrão, temos o seguinte

f 2 n 0 = 5 π 2 n ,     n   s e n d o   p a r - 5 π 2 n ,     n   s e n d o   í m p a r

Passo 2

Observe que a derivada só é diferente de zero sempre que a derivada for de ordem ímpar e alterna sinais, como nos problemas anteriores, então faremos o expoente de n a 2 n para contabilizar apenas as derivadas de ordem ímpar porque par -derivadas ordenadas são 0. Portanto, a série de Maclaurin para a função dada é (primeiros cinco termos diferentes de zero mostrados abaixo):

∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n π 2 n 2 n ! x 2 n = 5 + 0 - 5 π 2 x 2 2 ! + 0 + 5 π 4 x 4 4 ! + 0 - 5 π 6 x 6 6 ! + 0 + 5 π 8 x 8 8 ! + …

Portanto,

∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n π 2 n 2 n ! x 2 n = 5 + 5 π 2 x 2 2 ! + 5 π 4 x 4 4 ! - 5 π 6 x 6 6 ! + 5 π 8 x 8 8 ! + …

Resposta

f x = 5 cos ⁡ π x = ∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n π 2 n 2 n ! x 2 n = 5 + 5 π 2 x 2 2 ! + 5 π 4 x 4 4 ! - 5 π 6 x 6 6 ! + 5 π 8 x 8 8 ! + …

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.12. f x = x e x
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.15. sen ⁡ 3 x
Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a 34. f x = 1 - x + x 2 e x
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.19. cosh ⁡ x = e x + e - x 2
Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.3. f x = ln ⁡ x ,a = 1