Enunciado

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

8. f x = tg ⁡ x ,   a = π 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para começar a resolver essa questão, vamos relembrar como o polinômio de Taylor definido de ordem n .

Em bom “matematiquês”, seja a função f como N vezes diferenciável, o polinômio de Taylor de ordem n (onde n ∈ { 0 , … , N } ) gerado pela função f centrada no ponto x = a , será definida por

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + 1

Sabemos pelas condições da tarefa que precisamos determinar polinômios de Taylor de ordem n=0, n=1, n=2 e n=3. Portanto, a derivada mais alta que precisamos determinar é a terceira derivada.

Determinaremos a primeira derivada da função f diferenciando a função tangente:

f ' x = sec 2 ⁡ x

Determinaremos a segunda derivada diferenciando a função f ' usando a Regra da Cadeia:

f ' ' x = 2 sec ⁡ x 2 - 1 ∙ sec ⁡ x '

Desenvolvendo um pouco mais os termos, obtemos que

f ' ' x = 2 sec ⁡ x ∙ sec ⁡ x tan ⁡ x = 2 sec 2 ⁡ x ∙ tan ⁡ x

Determinaremos a terceira derivada diferenciando a função f ' ' . Como f ' ' é a função produto de sec 2 ⁡ x e tan ⁡ x temos que aplicar a Regra do Produto Derivado:

f ' ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x ' ∙ tan ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ∙ tan ⁡ x '

Calculando as derivadas, obtemos que

f ' ' ' x = 2 ∙ 2 sec 2 ⁡ x ∙ tan ⁡ x ∙ tan ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x = 2 sec 2 ⁡ x ( 2 tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x )

Passo 2

Pelas condições do problema, sabemos que estamos procurando o polinômio de Taylor em x = π 4   a = π 4 . A função f e as derivadas da função f contêm as funções sec ⁡ x e tan ⁡ x . Vamos relembrar os valores das funções secante e tangente em x = π 4

sec ⁡ π 4 = 2 → sec 2 ⁡ π 4 = 2

tan ⁡ π 4 = 1 → tan 2 ⁡ π 4 = 1

Quando incluímos x = π 4 em f , para a primeira, segunda e terceira derivadas, obtemos

f π 4 = tan ⁡ π 4 = 1

f ' π 4 = sec 2 ⁡ π 4 = 2

f ' ' π 4 = 2 sec 2 ⁡ π 4 ∙ tan ⁡ π 4 = 2 ∙ 2 ∙ 1 = 4

f ' ' ' π 4 = 2 sec 2 ⁡ π 4 2 ∙ tan 2 ⁡ π 4 + sec 2 ⁡ π 4 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 1 + 2 = 16

Passo 3

Da fórmula (1), vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 0 é igual ao primeiro termo do sol, ou seja, é igual a f ( 0 ) :

P 0 x = f π 4 = 1

Analogamente, pela fórmula (1), vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 1 é igual à soma do primeiro e segundo termos da soma, ou seja, é igual a

P 1 x = f π 4 + f ' π 4 ∙ x - π 4 = 1 + 2 x - π 4

No caso de n = 2 e a = π 4 na fórmula (1), nós temos que

P 2 x = f π 4 + f ' π 4 ∙ x - π 4 1 + f ' ' π 4 2 ! x - π 4 2

Desenvolvendo um pouco mais

P 2 x = 1 + 2 x - π 4 + 4 2 x - π 4 2 = 2 x - π 4 2 + 2 x - π 4 + 1

Finalmente, obteremos um polinômio de Taylor de ordem 3 incluindo 3 em vez de n na fórmula (1) e π 4 em vez de a

P 3 x = f π 4 ​ + f ' π 4 ​ ⋅ x - π 4 ​ 1 + f ' ' π 4 ​ 2 !   ​ x - π 4 2 + f ' ' ' π 4 ​ 3 !   ​ x - π 4 ​ 3

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P 3 x = 2 x - π 4 2 + 2 x - π 4 + 1 + 16 6 x - π 4 3

Resposta

P 0 x = 1

P 1 x = 2 x - π 4 + 1

P 2 x = 2 x - π 4 2 + 2 x - π 4 + 1

P 3 x = 2 x - π 4 2 + 2 x - π 4 + 8 3 x - π 4 3 + 1

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