Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor - Suponha que f(x) seja derivável em um intervalo centrado em x = a e que g(x) = b_0 + b_1(x-a) + ... + b_n(x-a)^n seja um

polinômio de grau n com coeficientes constantes b_0, ..., b_n . Seja E(x) = f(x) - g(x) . Mostre que se impusermos em g as condições

i) E(a) = 0 , O erro de aproximação é zero em x = a .

ii) lim x → a ⁡ E x x - a n = 0 , O erro é insignificante quando comparado a (x-a)^n .

Então

g(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^n(a)/n!(x-a)^n

Dessa forma, o polinômio de Taylor P_n(x) é o único polinômio de grau menor ou igual a n cujo erro é zero em x = a e insignificante quando comparado com (x-a)^n .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Usando a condição (i) E a = 0 , nós temos que f a = g ( a ) , entendendo que g a = b 0 , então, temos que f a = b 0 . Agora, vamos usar a condição (ii), aplicando o limite

lim x → a ⁡ f x - b 0 - b 1 x - a - b 2 x - a 2 - b 3 x - a 3 - … - b n x - a n n x - a n - 1 = 0

Agora, vamos usar a regra de L’Hospital, portanto

lim x → a ⁡ f ' x - b 1 - 2 b 2 x - a - 3 b 3 x - a 2 - 4 b 4 x - a 3 - … - n b n x - a n - 1 n x - a n - 1

Todos esses termos da derivada vão se igualar a 0 , com isso,

f ' a = b 1

Passo 2

Utilizando a regra de L’Hospital novamente,

lim x → a ⁡ f ' ' x - 2 b 2 - 3 ∙ 2 b 3 ( x - a ) - … - n ( n - 1 ) b n x - a n - 2 n ( n - 1 ) x - a n - 1

Pela lógica, obtemos que

b 2 = f ' ' a 2

Ou seja, temos um padrão, que é igual a

b n = f n n !

Expandindo isto para a função de g ( x )

g x = f a + f ' a + f ' ' ( a ) 2 ! + f ' ' ' a 3 ! + … + f n n ! ∴

Resposta

Respondido acima!

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