Enunciado

Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor - Suponha que f ( x ) seja derivável em um intervalo centrado em x = a e que g x = b 0 + b 1 x - a + … + b n x - a n seja um

polinômio de grau n com coeficientes constantes b 0 , … , b n . Seja E x = f x - g ( x ) . Mostre que se impusermos em g as condições

i) E a = 0 , O erro de aproximação é zero em x = a .

ii) lim x → a ⁡ E x x - a n = 0 , O erro é insignificante quando comparado a x - a n .

Então

g x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n .  

Dessa forma, o polinômio de Taylor P n ( x ) é o único polinômio de grau menor ou igual a n cujo erro é zero em x = a e insignificante quando comparado com x - a n .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Usando a condição (i) E a = 0 , nós temos que f a = g ( a ) , entendendo que g a = b 0 , então, temos que f a = b 0 . Agora, vamos usar a condição (ii), aplicando o limite

lim x → a ⁡ f x - b 0 - b 1 x - a - b 2 x - a 2 - b 3 x - a 3 - … - b n x - a n n x - a n - 1 = 0

Agora, vamos usar a regra de L’Hospital, portanto

lim x → a ⁡ f ' x - b 1 - 2 b 2 x - a - 3 b 3 x - a 2 - 4 b 4 x - a 3 - … - n b n x - a n - 1 n x - a n - 1

Todos esses termos da derivada vão se igualar a 0 , com isso,

f ' a = b 1

Passo 2

Utilizando a regra de L’Hospital novamente,

lim x → a ⁡ f ' ' x - 2 b 2 - 3 ∙ 2 b 3 ( x - a ) - … - n ( n - 1 ) b n x - a n - 2 n ( n - 1 ) x - a n - 1

Pela lógica, obtemos que

b 2 = f ' ' a 2

Ou seja, temos um padrão, que é igual a

b n = f n n !

Expandindo isto para a função de g ( x )

g x = f a + f ' a + f ' ' ( a ) 2 ! + f ' ' ' a 3 ! + … + f n n ! ∴

Resposta

Respondido acima!

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