Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 37
Se um topógrafo mede as diferenças nas elevações dos terrenos em um deserto, com a finalidade de construir uma rodovia, ele tem de fazer correções por causa da curvatura da Terra.
(a) Se é o raio da Terra e , o comprimento da rodovia, mostre que a correção a ser feita será
(b) Use um polinômio de Taylor para mostrar que
(c) Compare as correções dadas pelas fórmulas em (a) e (b) para uma rodovia que tenha de percurso. (Tome o raio da Terra como .)
Passo 1
(a) Para chegarmos à expressão da correção, olhe bem pra figura:
Veja que é o comprimento do arco subentendido pelo ângulo , então
Mas, pela figura, a secante do ângulo vai ser:
Passo 2
(b) Vamos usar um polinômio de Taylor para expressar :
Então, usando a expressão obtida no item anterior,
Passo 3
(c) Substituindo e na fórmula do item (a), obteremos
Mas, se usarmos a aproximação do item (b), teremos
Ou seja, a diferença entre os dois resultados é da ordem de metros apenas!
Resposta
(c) Diferença da ordem de metros
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