Enunciado

Se um topógrafo mede as diferenças nas elevações dos terrenos em um deserto, com a finalidade de construir uma rodovia, ele tem de fazer correções por causa da curvatura da Terra.

(a) Se R é o raio da Terra e L , o comprimento da rodovia, mostre que a correção a ser feita será

C = R sec ⁡ L R - R

(b) Use um polinômio de Taylor para mostrar que

C ≈ L 2 2 R + 5 L 4 24 R 3

(c) Compare as correções dadas pelas fórmulas em (a) e (b) para uma rodovia que tenha 100   k m de percurso. (Tome o raio da Terra como 6370   k m .)

Passo 1

(a) Para chegarmos à expressão da correção, olhe bem pra figura:

Veja que L é o comprimento do arco subentendido pelo ângulo θ , então

L = R θ ⇒ θ = L R

Mas, pela figura, a secante do ângulo vai ser:

sec ⁡ θ = R + C R ⇒ C = R sec ⁡ θ - R

C = R sec ⁡ L R - R

Passo 2

(b) Vamos usar um polinômio de Taylor para expressar sec ⁡ x :

sec ⁡ x ≈ T 4 x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4

Então, usando a expressão obtida no item anterior,

C ≈ R T 4 L R - R

C ≈ R 1 + 1 2   L 2 R 2 + 5 24   L 4 R 4 - R

C ≈ L 2 2 R + 5 L 4 24 R 3

Passo 3

(c) Substituindo L = 100   k m e R = 6370   k m na fórmula do item (a), obteremos

C ≈ 0,78500996544   k m

Mas, se usarmos a aproximação do item (b), teremos

C ≈ 0,78500995736   k m

Ou seja, a diferença entre os dois resultados é da ordem de 10 - 6 metros apenas!

Resposta

(c) Diferença da ordem de 10 - 6 metros

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