Enunciado

Se f n 0 = n + 1 ! Para n = 0 ,   1 ,   2 ,   … , encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência.

Passo 1

Sabemos que a série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n

Então, substituindo a n -ésima derivada na série

= ∑ n = 0 ∞ n + 1 ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ n ! n ! x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1 n + 1 x n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1

= x lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 = x

Então temos que para convergir x < 1 , então o raio da série é 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

R = 1

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