Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f (por qualquer método), e seu raio de convergência. Plote f e seus primeiros polinômios na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ?

f x = 2 x

Passo 1

Vamos utilizar a definição de uma série de Maclaurin para obter a série da nossa função f . Logo, a série de Maclaurin da função f é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Cabe a nós agora obtermos as derivadas da função f , aplica-las no ponto x = 0 e tentar identificar o padrão delas! Vamos começar a derivar a nossa função então.

f 0 = 1 = ln ⁡ 2 0

f ' x = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 ⟹ f ' 0 = ln ⁡ 2 1

f ' ' x = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 2 ⟹ f ' ' 0 = ln ⁡ 2 2

f ( 3 ) = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 3 ⟹ f 3 0 = ln ⁡ 2 3

f ( 4 ) = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 4 ⟹ f 4 0 = ln ⁡ 2 4

Se continuarmos fazendo estas derivadas, vamos observar que a derivada de ordem n aplicada em x = 0 pode ser expressar por:

f n = ln ⁡ 2 n

Portanto, a função é escrita através da série de Maclaurin por:

f x = ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ 2 n n ! x n

Passo 2

Para determinarmos o raio de convergência, vamos utilizar o teste da razão. Portanto,

a n + 1 a n = ln ⁡ 2 n + 1 ⋅ x n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! ln ⁡ 2 n ⋅ x n = ln ⁡ 2 ⋅ x n + 1

Calculando o limite quando n → ∞ , temos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 ⋅ x n + 1 = 0 < 1

Portanto, o raio de convergência não depende do valor de x . Desta forma, ele é dito infinito, isto é, R = ∞ .

Passo 3

Só nos falta obter o plot da nossa função f e das primeiras aproximações. Para isto, vamos utilizar softwares que nos ajudem no esboço!

Vejamos abaixo as primeiras aproximações.

Pode-se observar que à medida em que aumentamos a ordem do polinômio, a função se aproxima cada vez mais da curva f x = 2 x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ 2 n n ! x n

Raio de convergência igual a .

À medida em que aumentamos a ordem do polinômio, a função se aproxima cada vez mais da curva f x = 1 + x .

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Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência. f x = x 4 + x 2
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência. f x = x 2 2 + x
Expanda 1 + x 3 como uma série de potências.Use a parte a) para estimar 1,01 3 com precisão de quatro casas decimais.
Use a série binomial para expandir 1 / 1 + x 2 .Use a parte a) para encontrar a série de Maclaurin para senh - 1 ⁡ x .
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n x quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na par