Enunciado

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Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

f x = x 4 + x 2

Passo 1

Vamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 4 + x 2 = x ⋅ 4 + x 2 - 1 / 2 = x ⋅ 1 + x 2 4 - 1 / 2 2

Agora, vamos substituir os valores k = - 1 / 2 e no lugar de x colocar x 2 / 4 na série.

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 4 n 2

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

- 1 2 0 = 1

- 1 2 1 = - 1 2 1 = - 1 2

- 1 2 2 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 = 1 ⋅ 3 2 2 ⋅ 2

- 1 2 3 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 4 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 5 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 ⋅ - 1 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Portanto, o padrão para n ≥ 1 é:

- 1 2 n = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 4 n 2 = x 2 + x ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 2 n ⋅ n ! x 2 4 n

f x = x 2 + x ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n 2 2 n

f x = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 3 n + 1 ⋅ n ! x 2 n + 1

E esta é a nossa série.

Passo 3

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão. Sendo assim,

a n + 1 a n = - 1 n + 1 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1 2 3 n + 4 ⋅ n + 1 ! x 2 n + 3 ⋅ 2 3 n + 1 ⋅ n ! - 1 n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x 2 n + 1

a n + 1 a n = - 1 2 n + 1 ⋅ x 2 2 3 ⋅ n + 1

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n + 1 ⋅ x 2 2 3 ⋅ n + 1 = x 2 2 2 < 1

Desta forma, o raio de convergência é 2 .

Resposta

f x = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 3 n + 1 ⋅ n ! x 2 n + 1

Raio de convergência igual a 2 .

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