Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

f x = x 4 + x 2

Passo 1

Vamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 4 + x 2 = x ⋅ 4 + x 2 - 1 / 2 = x ⋅ 1 + x 2 4 - 1 / 2 2

Agora, vamos substituir os valores k = - 1 / 2 e no lugar de x colocar x 2 / 4 na série.

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 4 n 2

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

- 1 2 0 = 1

- 1 2 1 = - 1 2 1 = - 1 2

- 1 2 2 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 = 1 ⋅ 3 2 2 ⋅ 2

- 1 2 3 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 4 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 5 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 ⋅ - 1 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Portanto, o padrão para n ≥ 1 é:

- 1 2 n = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 4 n 2 = x 2 + x ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 2 n ⋅ n ! x 2 4 n

f x = x 2 + x ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n 2 2 n

f x = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 3 n + 1 ⋅ n ! x 2 n + 1

E esta é a nossa série.

Passo 3

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão. Sendo assim,

a n + 1 a n = - 1 n + 1 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1 2 3 n + 4 ⋅ n + 1 ! x 2 n + 3 ⋅ 2 3 n + 1 ⋅ n ! - 1 n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x 2 n + 1

a n + 1 a n = - 1 2 n + 1 ⋅ x 2 2 3 ⋅ n + 1

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n + 1 ⋅ x 2 2 3 ⋅ n + 1 = x 2 2 2 < 1

Desta forma, o raio de convergência é 2 .

Resposta

f x = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 3 n + 1 ⋅ n ! x 2 n + 1

Raio de convergência igual a 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.21. x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4
Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor - Suponha que f ( x ) seja derivável em um intervalo centrado em x = a e que g x = b 0 + b 1 x - a + … + b n x - a n seja umpolinômio de grau n com
Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.8. f x = tg ⁡ x ,a = π 4
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.18. 5 cos ⁡ π x
Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a 27. f x = 1 x 2 ,a = 1