Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = ln ⁡ ( 1 + x )

A série de Maclaurin será dada por:

ln ⁡ ( 1 + x ) = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4 + …

= 0 + x - 1 2 x 2 + 2 6 x 3 - 6 24 x 4 + 24 120 x 5 - …

x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 - …

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 . n x n = lim n → ∞ ⁡ x 1 + 1 / n = x

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

x < 1

E, consequentemente:

R = 1

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

R = 1

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