Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(k = 1)^(oo) (5^k)/(3^k + 4^k)

Passo 1

Muitos termos elevados a k , não é mesmo?

Vamos olhar para o maior deles (aquele 5^k no numerador)....Vamos dividir numerador e denominador por esse termo?

sum_(k = 1)^(oo) (5^k -: 5^k)/((3^k + 4^k) -: 5^k) = sum_(k = 1)^(oo) (1)/(((3)/(5))^k + ((4)/(5))^k)

Beleza...Reparem que, a medida que k for crescendo, os termos ((3)/(5))^k e ((4)/(5))^k vão se aproximando cada vez mais de zero, certo?

Passo 2

Opa! Acho que já encontramos uma saída, hein! Vamos calcular o seguinte limite:

underset(k -> oo)(lim) a_k = underset(k -> oo)(lim) (1)/(((3)/(5))^k + ((4)/(5))^k) = (1)/(0 + 0) = oo

Passo 3

Olha sóóó! Como underset(k -> oo)(lim) a_k = oo != 0 , pelo Teste da Divergência chegamos à conclusão de que a nossa série sum_(k = 1)^(oo) (5^k)/(3^k + 4^k) é divergente!

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) (5^k)/(3^k + 4^k) é divergente

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