Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = cos ⁡ x

Passo 1

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = cos ⁡ x ⇒ f 0 = 1

f ' x = - sen ⁡ x ⇒ f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ⇒ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sen ⁡ x ⇒ f ' ' ' 0 = 0

f ' ' ' ' x = cos ⁡ x ⇒ f ' ' ' ' 0 = 1

Podemos perceber o padrão, de forma geral temos que para termos n impares, temos que f 2 n + 1 0 = 0 e para os pares f 2 n 0 = - 1 n .

Passo 2

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Repara que o fatorial acompanha os valores da potencia de x , porque como não temos termos impares, os fatoriais destes termos somem junto do termo geral.

Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! ⋅ 2 n ! x 2 n = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 2 2 n + 2 ! ⋅ 2 n ! x 2 n

= lim n → ∞ ⁡ x 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = 0

O limite é 0 < 1 para todo x então a série de maclaurin para o cos ⁡ x converge para todo x , portanto seu raio é infinito.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

R = ∞

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