Enunciado

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

52. 1 + x 2 + x 2 3 + x 3 4 + x 4 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

E aí, pessoal, tudo bem? Que ótimo, então vem comigo para mais uma questão!

Essa série não é tão intuitiva, não é mesmo? Mas, confia em mim que nós vamos conseguir. A primeira coisa que temos que fazer é multiplicar a série por x :

x 1 + x 2 + x 2 3 + x 3 4 + x 4 5 +   ⋅ ⋅ ⋅ = x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

Isso parece muito com a série do logaritmo

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

mas ainda não é bem isso.

Passo 2

Bom, vamos trocar x por - x na série do logaritmo para ver o que acontece:

l n ( 1 - x ) = - x - ( - x ) 2 2 + ( - x ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( - x ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1 - x ) = - x - x 2 2 - x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   - x n n -   ⋅ ⋅ ⋅

- l n ( 1 - x ) = x + x 2 2 + x 3 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n +   ⋅ ⋅ ⋅

Estamos quase lá!

Passo 3

Agora vamos dividir o resultado do passo anterior por x :

- l n ( 1 - x ) x = 1 + x 2 + x 2 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 1 n +   ⋅ ⋅ ⋅

Opa! Agora conseguimos a série do enunciado, finalmente! Então, podemos concluir que a soma desta série é - l n ( 1 - x ) x .

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Resposta

- l n ( 1 - x ) x

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