Enunciado

Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]

f x = sen ⁡ x ,                     a = π / 2

Passo 1

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = π / 2

f x = sen ⁡ x ⇒ f π / 2 = 1

f ' x = cos ⁡ x ⇒ f ' π / 2 = 0

f ' ' x = - sen ⁡ x ⇒ f ' ' π / 2 = - 1

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ⇒ f ' ' ' π / 2 = 0

f ' ' ' ' x = sen ⁡ x ⇒ f ' ' ' ' π / 2 = 1

Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas pares f 2 n π / 2 = - 1 n   e para as ímpares f 2 n + 1 π / 2 = 0

Passo 2

Então temos que a série de Taylor para f ( x ) é

∑ n = 0 ∞ f n π / 2 n ! x - π 2 n = ∑ n = 0 ∞ f 2 n π / 2 ( 2 n ) ! x - π 2 2 n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

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