Enunciado

Integre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para t g   t de 0 a x para obter os três primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para l n s e c   x .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem? Se vocês ficaram confusos com essa questão, não precisam desanimar. A gente Responde Aí juntos.

Essa questão pede para integrar os três primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para t g   t de 0 a x para obter os três primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para l n s e c   x . Para fazer isso, primeiro temos que lembrar que

∫ 0 x t g   t   d t   = l n s e c   x

Ou seja, quando integramos a série da tangente, automaticamente estamos obtendo a série do l n s e c   x .

Passo 2

Mas, nós não conhecemos a série da tangente, mas podemos encontrá-la pela série de Taylor em torno de t = 0 :

t g   t = t g   0 + d d t ( t g   t ) | t = 0 t + 1 2 ! d 2 d t 2 ( t g   t ) | t = 0 t 2 + 1 3 ! d 3 d t 3 ( t g   t ) | t = 0 t 3 + ⋯

t g   0 = 0 , então já não podemos contar com esse termo. Para as derivadas, temos

d d t ( t g   t ) | t = 0 = s e c   2 t | t = 0 = 1

d 2 d t 2 ( t g   t ) | t = 0 = d d t ( s e c   2 t ) | t = 0 = 2 t g   t   s e c 2 t | t = 0 = 0

d 3 d t 3 ( t g   t ) | t = 0 = d d t ( 2 t g   t   s e c 2 t ) | t = 0 = 4 t g 2   t   s e c 2 t | t = 0 + 2 s e c 4 t | t = 0 = 2

d 4 d t 4 ( t g   t ) | t = 0 = d d t ( 4 t g 2   t   s e c 2 t + 2 s e c 4 t ) | t = 0 = 8 t g   t   s e c 2   t ( t g 2 t + 2   s e c 2   t ) | t = 0 = 0

d 5 d t 5 ( t g   t ) | t = 0 = d d t ( 8 t g   t   s e c 2   t ( t g 2 t + 2   s e c 2   t ) ) | t = 0

⇒ d 5 d t 5 ( t g   t ) | t = 0 = 16   s e c 6   t + 88 t g 2   t   s e c 2 t + 16 t g 8 t   s e c 2   t | t = 0 = 16

Passo 3

Agora, juntando os resultados, ficamos com a seguinte série (contando somente os três primeiros termos diferentes de zero)

t g   t   =   t + 2 3 ! t 3 + 16 5 ! t 5   =   t + 1 3 t 3 + 2 15 t 5

Integrando de 0 a x , obtemos

l n s e c   x = ∫ 0 x t g   t   d t = ∫ 0 x t + 1 3 t 3 + 2 15 t 5 d t

l n s e c   x = t 2 2 + 1 12 t 4 + 2 90 t 6 0 x

l n s e c   x = 1 2 x 2 + 1 12 x 4 + 1 45 x 6

Ufa! Conseguimos, depois de muito esforço, mas conseguimos! Até a próxima!

Resposta

l n s e c   x = 1 2 x 2 + 1 12 x 4 + 1 45 x 6

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a soma das séries.
Encontre a soma das séries.
Use séries para avaliar o limite.
Use séries para avaliar o limite.
Encontre a soma das séries.