Enunciado

Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.

12. f x = 1 - x ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Bom, para começarmos essa questão vamos precisar saber qual autofumção normalizada obtivemos na questão 4 dessa seção.

Ela foi:

ϕ n x = 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n

Na resolução da questão 4 dessa seção, tínhamos ainda que (retirada da questão 8 da seção 11.1) o autovalor satisfaz c o s λ n - λ n s e n λ n = 0

Passo 2

Bom, temos aqui da equação (34) desse livro que o coeficiente de expansão é dado por:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Do enunciado temos que f x = x

Então ficamos como:

= ∫ 0 1 ( 1 - x ) × 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x

= ∫ 0 1 ( 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n - x 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x

= 2 3 - c o s 2 λ n ∫ 0 1   c o s λ n x - x c o s λ n x     d x

= 2 3 - c o s 2 λ n ∫ 0 1   c o s λ n x   d x - ∫ 0 1 x c o s λ n x     d x

= 2 3 - c o s 2 λ n × s e n λ n λ n - λ n s e n λ n + c o s λ n - 1 λ n

= 2 1 - c o s λ n λ n α n

Resposta

= 2 1 - c o s λ n λ n α n

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Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo y ' ' + 4 y = 0 ,y - 1 = 0 ; y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0 x y ' ' + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0( e q u a ç ã od eL a g u e r r e ) çã
Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0 x 2 y ' ' + x y ' + ( x 2 - v 2 ) y = 0( e q u a ç ã od eB e s s e l ) çã
Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo y ' ' + 4 y = s e nx ; y 0 = 0 ; y 1 = 0