Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

u ' ' + ω 0 2 u = c o s ω t

Com

ω 2   ≠ ω 0 2

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( u h ). Lembrando que a EDO homogênea é u ' ' + u =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( u p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, u = u h +   u p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, u ' ' passa a ser r 2 e u é o termo independente.

.

r 2 + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 2 , b = 3   e c = 1 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • u =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • u =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

u =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   0 2 - 4 1 ω 0 2

∆   =   - 4 ω 0 2

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = 0 ± - 4 ω 0 2 2 ( 1 )

r = ± 2 ω 0 i 2

r = ± ω 0 i

Passo 3

Como ∆   =     - 4 ω 0 2 < 0 , a solução da EDO homogênea será:

u h =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Onde α = 0 e β = ω 0

u h = C 1 c o s ω 0 t +   C 2 s e n ω 0 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

u p = A s e n ω t + B c o s ω t

Que satisfaz a equação

u ' ' p + ω 0 2 u p = c o s ω t

Substituiremos u p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

u ' p = ω A c o s ω t - ω B s e n ω t

u ' ' p 1 = - ω 2 A s e n ω t - ω 2 B c o s ω t

Lembrando que, u ' ' p + ω 0 2 u p = c o s ω t

- ω 2 A s e n ω t - ω 2 B c o s ω t + ω 0 2 A s e n ω t + ω 0 2 B c o s ω t =   c o s ω t

- ω 2 A + ω 0 2 A s e n ω t + - ω 2 B + ω 0 2 B c o s ω t =   c o s ω t

Para manter a igualdade,

- ω 2 A + ω 0 2 A = 0

ω 0 2 - ω 2 A = 0

A = 0

- ω 2 B + ω 0 2 B = 1

B =   1 ω 0 2 - ω 2

Logo, a solução particular da EDO será

u p =   1 ω 0 2 - ω 2 c o s ω t

Passo 5

A solução da EDO será

u = u h +   u p

u = C 1 c o s ω 0 t +   C 2 s e n ω 0 t +   1 ω 0 2 - ω 2 c o s ω t

Resposta

u = C 1 c o s ω 0 t +   C 2 s e n ω 0 t +   1 ω 0 2 - ω 2 c o s ω t

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