Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') + y^' + 4 y = 2 s e n h t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') + y^' + 4 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Obs: Lembre-se que

s e n h t = (e^t - e^(- t))/(2)

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

r^2 + r + 4 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = 1 e c = 4 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (1)^2 - 4 (1) (4)

Delta = - 15

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- ( 1 ) +- sqrt(- 15))/(2 ( 1 ))

r = (- 1 +- sqrt(15) i)/(2)

r_1 = (- 1 + sqrt(15) i)/(2)

e

r_2 = (- 1 - sqrt(15) i)/(2)

Passo 3

Como Delta = - 15 , 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Onde alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(15))/(2)

y_h = e^(- (1)/(2) t) (C_1 c o s (sqrt(15))/(2) t + C_2 s e n (sqrt(15))/(2) t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = A e^t + B e^(- t)

Que satisfaz a EDO

y ' '_p + y '_p + 4 y_p = 2 s e n h t = e^t - e^(- t)

Substituiremos y_p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p = A e^t - B e^(- t)

y ' '_p = A e^t + B e^(- t)

Lembrando que,

y ' '_p + y '_p + 4 y_p = (e^t - e^(- t))/(2)

A e^t + B e^(- t) + A e^t + B e^(- t) + 4 ( A e^t - B e^(- t) ) = e^t - e^(- t)

6 A e^t + 4 B e^(- t) = e^t - e^(- t)

Para manter a igualdade,

6 A = 1

A = (1)/(6)

4 B = - 1

B = - (1)/(4)

Substituindo A e B na solução particular,

y_p = (1)/(6) e^t - (1)/(4) e^(- t)

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = e^(- (1)/(2) t) (C_1 c o s (sqrt(15))/(2) t + C_2 s e n (sqrt(15))/(2) t) + (1)/(6) e^t - (1)/(4) e^(- t)

Resposta

y = e^(- (1)/(2) t) (C_1 c o s (sqrt(15))/(2) t + C_2 s e n (sqrt(15))/(2) t) + (1)/(6) e^t - (1)/(4) e^(- t)

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