Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' + y' + 4y = 2senht

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + y ' + 4 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Obs: Lembre-se que

s e n h t =   e t -   e - t 2

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

r 2 + r + 4 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 1 e c = 4 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   1 2 - 4 1 4

∆   =   - 15

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - ( 1 ) ± - 15 2 ( 1 )

r = - 1 ± 15 i 2

r 1 = - 1 + 15 i 2

e

r 2 = - 1 - 15 i 2

Passo 3

Como ∆   =   - 15   , 0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Onde α = - 1 2 e β = 15 2

y h =   e - 1 2 t C 1 c o s 15 2 t +   C 2 s e n 15 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A e t + B e - t

Que satisfaz a EDO

y ' ' p + y ' p + 4 y p = 2 s e n h t =   e t -   e - t

Substituiremos y p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p = A e t - B e - t

y ' ' p = A e t + B e - t

Lembrando que,

y ' ' p + y ' p + 4 y p =   e t -   e - t 2

A e t + B e - t + A e t + B e - t + 4 ( A e t - B e - t ) =   e t -   e - t

6 A e t + 4 B e - t =   e t -   e - t

Para manter a igualdade,

6 A = 1

A =   1 6

4 B = - 1

B =   - 1 4

Substituindo A e B na solução particular,

y p =   1 6 e t -   1 4 e - t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   e - 1 2 t C 1 c o s 15 2 t +   C 2 s e n 15 2 t +     1 6 e t -   1 4 e - t  

Resposta

y =   e - 1 2 t C 1 c o s 15 2 t +   C 2 s e n 15 2 t +     1 6 e t -   1 4 e - t

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