Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' - 2y' - 3y = 3t e^(2t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' - 2 y ' - 3 y =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

.

r 2 - 2 r - 3 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = - 2   e c = - 3 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   ( - 2 ) 2 - 4 1 - 3

∆   =   16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± 16 2 a

r = 2 ± 16 2 ( 1 )

r = 2 ± 4 2

r 1 = 2 - 4 2 = - 1

r 2 =   2 + 4 2 = 3

Passo 3

Como ∆   =   16 > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 e 3 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = ( A + B t ) e 2 t

Substituiremos y p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p = ( B + 2 A + 2 B t ) e 2 t

y ' ' p = ( 4 B + 4 A + 4 B t ) e 2 t

Lembrando que, y ' ' p - 2 y ' p - 3 y p = 3 t e 2 t

4 B + 4 A + 4 B t e 2 t - 2 B + 2 A + 2 B t e 2 t - 3 A + B t e 2 t = 3 t e 2 t

2 B - 3 A e 2 t - 3 B t e 2 t = 3 t e 2 t

Logo, para manter a igualdade

2 B - 3 A = 0

- 3 B = 3

B = - 1  

A = -   2 3

Substituindo A na solução particular,

y p = ( -   2 3 - t ) e 2 t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y = C 1 e - t +   C 2 e 3 t +   ( -   2 3 - t ) e 2 t

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y 0 =   C 1 +   C 2 - 2 3 = 1

C 1 +   C 2 = 5 3

y ' = - C 1 e - t +   3 C 2 e 3 t - e 2 t + 2   ( -   2 3 - t ) e 2 t

y ' 0 = - C 1 +   3 C 2 - 1 -   4 3 = 0

- C 1 +   3 C 2 =   7 3

Assim, temos o seguinte sistema

C 1 +   C 2 = 5 3

- C 1 +   3 C 2 =   7 3

Resolvendo o sistema obtemos

C 1 = 2 3

  C 2 = 1

Logo,

y = 2 3 e - t +   e 3 t +   ( -   2 3 - t ) e 2 t

Resposta

y = 2 3 e - t +   e 3 t +   ( -   2 3 - t ) e 2 t

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