Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') - 2 y^' - 3 y = 3 t e^(2 t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') - 2 y^' - 3 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

.

r^2 - 2 r - 3 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = - 2 e c = - 3 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = ( - 2 )^2 - 4 (1) (- 3)

Delta = 16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(16))/(2 a)

r = (2 +- sqrt(16))/(2 ( 1 ))

r = (2 +- 4)/(2)

r_1 = (2 - 4)/(2) = - 1

r_2 = (2 + 4)/(2) = 3

Passo 3

Como Delta = 16 > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^(- t) + C_2 e^(3 t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = ( A + B t ) e^(2 t)

Substituiremos y_p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p = ( B + 2 A + 2 B t ) e^(2 t)

y ' '_p = ( 4 B + 4 A + 4 B t ) e^(2 t)

Lembrando que, y ' '_p - 2 y^'_p - 3 y_p = 3 t e^(2 t)

(4 B + 4 A + 4 B t) e^(2 t) - 2 (B + 2 A + 2 B t) e^(2 t)_ - 3 (A + B t) e^(2 t) = 3 t e^(2 t)

(2 B - 3 A) e^(2 t) - 3 B t e^(2 t) = 3 t e^(2 t)

Logo, para manter a igualdade

2 B - 3 A = 0

- 3 B = 3

B = - 1

A = - (2)/(3)

Substituindo A na solução particular,

y_p = ( - (2)/(3) - t ) e^(2 t)

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(3 t) + ( - (2)/(3) - t ) e^(2 t)

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y (0) = C_1 + C_2 - (2)/(3) = 1

C_1 + C_2 = (5)/(3)

y^' = - C_1 e^(- t) + 3 C_2 e^(3 t) - e^(2 t) + 2 ( - (2)/(3) - t ) e^(2 t)

y^' (0) = - C_1 + 3 C_2 - 1 - (4)/(3) = 0

- C_1 + 3 C_2 = (7)/(3)

Assim, temos o seguinte sistema

C_1 + C_2 = (5)/(3)

- C_1 + 3 C_2 = (7)/(3)

Resolvendo o sistema obtemos

C_1 = (2)/(3)

C_2 = 1

Logo,

y = (2)/(3) e^(- t) + e^(3 t) + ( - (2)/(3) - t ) e^(2 t)

Resposta

y = (2)/(3) e^(- t) + e^(3 t) + ( - (2)/(3) - t ) e^(2 t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a solução do problemaoverset(¨)(x) + 4 x = cos 2 t , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0
Determine a solução geral. x ¨ - 2 x ˙ = e 2 t
Determine uma solução particular de x ¨ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.
Determine a solução geral.overset(¨)(x) - 4 x = e^(2 t)
Determine a solução do problema x ¨ + 4 x = cos ⁡ t ,x 0 = 1ex ˙ 0 = - 1