Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' + 4y = t^2 + 3e^t

y(0) = 0 y'(0) = 2

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + 4 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

r 2 + 4 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 0 e c = 4 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   0 2 - 4 1 4

∆   =   - 16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - ( 0 ) ± - 16 2 ( 1 )

r = ± 4 i 2

r = ± 2 i

Passo 3

Como ∆   =     - 16 < 0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Onde α = 0 e β = 2

y h = C 1 c o s 2 t +   C 2 s e n 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = y p 1 +   y p 2

Onde,

y p 1 = A + B t + C t 2  

Que satisfaz a equação

y ' ' p 1 + 4 y p 1 =   t 2

y p 2 = D e t

Que satisfaz a equação

y ' ' p 2 + 4 y p 2 = 3 e t

Substituiremos y p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p 1 = B + 2 C t

y ' ' p 1 = 2 C

Lembrando que, 2 C + 4 ( A + B t + C t 2 ) =   t 2

2 C + 4 A + 4 B t + 4 C t 2 =   t 2

Para manter a igualdade

2 C + 4 A = 0

B = 0

4 C =   1

Logo,

C =   1 4

B = 0

A = -   1 8

Então,

y p 1 = -   1 8 + 1 4 t 2

Substituiremos y p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes D.

y ' p 2 = D e t

y ' ' p 2 = D e t

Lembrando que, y ' ' p 2 + 4 y p 2 = 3 e t

D e t + 4 ( D e t ) = 3 e t

D e t + 4 ( D e t ) = 3 e t

5 D e t = 3 e t

D =   3 5

Logo,

y p 2 =   3 5 e t

A solução particular da EDO será

y p =   -   1 8 + 1 4 t 2 +   3 5 e t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 c o s 2 t +   C 2 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2 +   3 5 e t  

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y 0 =   C 1 - 1 2 + 3 5 = 0

C 1 = - 19 40

y ' =   - 2 C 1 s e n 2 t +   2 C 2 c o s 2 t   + 1 2 t +   3 5 e t

y ' 0 =   2 C 2   +   3 5 = 7 5  

C 2 = 7 10

Logo,

y =   - 19 40 c o s 2 t +   7 10 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2 +   3 5 e t

Resposta

y =   - 19 40 c o s 2 t +   7 10 s e n 2 t   -   1 8 + 1 4 t 2 +   3 5 e t

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