Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') + 4 y = t^2 + 3 e^t

y (0) = 0 y^' (0) = 2

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') + 4 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 e y é o termo independente.

r^2 + 4 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = 0 e c = 4 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (0)^2 - 4 (1) (4)

Delta = - 16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- ( 0 ) +- sqrt(- 16))/(2 ( 1 ))

r = (+- 4 i)/(2)

r = +- 2 i

Passo 3

Como Delta = - 16 < 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Onde alpha = 0 e beta = 2

y_h = C_1 c o s 2 t + C_2 s e n 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = y_p 1 + y_p 2

Onde,

y_p 1 = A + B t + C t^2

Que satisfaz a equação

y ' '_p 1 + 4 y_p 1 = t^2

y_p 2 = D e^t

Que satisfaz a equação

y ' '_p 2 + 4 y_p 2 = 3 e^t

Substituiremos y_p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p 1 = B + 2 C t

y ' '_p 1 = 2 C

Lembrando que, 2 C + 4 ( A + B t + C t^2 ) = t^2

2 C + 4 A + 4 B t + 4 C t^2 = t^2

Para manter a igualdade

2 C + 4 A = 0

B = 0

4 C = 1

Logo,

C = (1)/(4)

B = 0

A = - (1)/(8)

Então,

y_p 1 = - (1)/(8) + (1)/(4) t^2

Substituiremos y_p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes D.

y '_p 2 = D e^t

y ' '_p 2 = D e^t

Lembrando que, y ' '_p 2 + 4 y_p 2 = 3 e^t

D e^t + 4 ( D e^t ) = 3 e^t

D e^t + 4 ( D e^t ) = 3 e^t

5 D e^t = 3 e^t

D = (3)/(5)

Logo,

y_p 2 = (3)/(5) e^t

A solução particular da EDO será

y_p = - (1)/(8) + (1)/(4) t^2 + (3)/(5) e^t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 c o s 2 t + C_2 s e n 2 t - (1)/(8) + (1)/(4) t^2 + (3)/(5) e^t

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y (0) = C_1 - (1)/(2) + (3)/(5) = 0

C_1 = - (19)/(40)

y^' = - 2 C_1 s e n 2 t + 2 C_2 c o s 2 t + (1)/(2) t + (3)/(5) e^t

y^' (0) = 2 C_2 + (3)/(5) = (7)/(5)

C_2 = (7)/(10)

Logo,

y = - (19)/(40) c o s 2 t + (7)/(10) s e n 2 t - (1)/(8) + (1)/(4) t^2 + (3)/(5) e^t

Resposta

y = - (19)/(40) c o s 2 t + (7)/(10) s e n 2 t - (1)/(8) + (1)/(4) t^2 + (3)/(5) e^t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação x ¨ + ω 2 x = sen ⁡ ω t onde ω ≠ 0 é um real dado. (Ressonância)
Determine uma solução particular de x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.
Determine a solução geral.overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = sen 3 t
Determine a solução geral. x ¨ + 9 x = sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t
Determine a solução geral.overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = 5