Enunciado

Encontre a soma da série.

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n pi^(2 n))/(6^(2 n) ( 2 n ) !)

Passo 1

Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor.

Neste caso podemos juntar as potencias de 2 n

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n pi^(2 n))/(6^(2 n) (2 n) !) = sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n ( pi // 6 )^(2 n))/((2 n) !)

Agora temos uma série no formato da série do cosseno

cos x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n))/(( 2 n ) !)

Então temos que a nossa série vale

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n ( pi // 6 )^(2 n))/((2 n) !) = cos ( pi // 6 ) = (sqrt(3))/(2)

Resposta

cos ( pi // 6 ) = (sqrt(3))/(2)

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