Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f(x) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?

54. 1 - pi^2 / (9 \* 2!) + pi^4 / (81 \* 4!) - … + (-1)^n \* pi^(2n) / (3^(2n) \* (2n)!) + …

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série

1 - π 2 9 ∙ 2 ! + π 4 81 ∙ 4 ! - … + - 1 n π 2 n 3 2 n 2 n ! + …

A série dada tem a seguinte forma, com isso

x - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n 2 n ! + …  

Onde o ponto é x = π 3 , portanto, a função requerida é

f x = x - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n 2 n ! + …  

E o ponto particular como x = π 3 . A soma da série é dada por

x - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n 2 n ! + …   = cos ⁡ x

Colocando x = π 3 , nós temos que

cos ⁡ π 3 = 1 2

Resposta

x - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n 2 n ! + …   = cos ⁡ x = 1 2   e m   x = π 3

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