Enunciado

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ h ∂ x = ∂ ∂ x x e y + y + 1 = e y ∂ h ∂ y = ∂ ∂ y x e y + y + 1 = x e y + 1

∂ 2 h ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ h ∂ x = ∂ ∂ x e y = 0

Passo 3

∂ 2 h ∂ x ∂ y = ∂ 2 h ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ h ∂ x = ∂ ∂ y e y = e y

∂ 2 h ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ h ∂ y = ∂ ∂ y x e y + 1 = x e y

Resposta

∂ 2 h ∂ x 2 = 0 , ∂ 2 h ∂ x ∂ y = ∂ 2 h ∂ y ∂ x = e y ,  and  ∂ 2 h ∂ y 2 = x e y

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9. Se u e v são funções de x e y , de classe C 2 e satisfazem as equações de Cauchy-Riemman ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y e ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x , mostre que u e v são harmônicas.