Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = x 3 + 3 x y 2 - 15 x + y 3 - 15 y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 3 x 2 + 3 y 2 - 15 = 3 ( x 2 + y 2 - 5 )

f y = 6 x y + 3 y 2 - 15 = 3 ( 2 x y + y 2 - 5 )

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

x 2 + y 2 - 5 = 0         ( I ) 2 x y + y 2 - 5 = 0     ( I I )

Resolvendo esse sisteminha, da equação (I), temos:

y 2 = - x 2 + 5

y = - x 2 + 5

Substituindo na equação (II):

2 x y - x 2 + 5 - 5 = 0    

2 x - x 2 + 5 - x 2 + 5 - 5 = 0    

2 x - x 2 + 5 = x 2

Se elevarmos ambos os lados à potência de dois:

4 x 2 - x 2 + 5 = x 4

- 4 x 4 + 20 x 2 = x 4

- 5 x 4 + 20 x 2 = 0

Agora vamos fatorar em um produto de quatro termos:

- 5 x 2 x - 2 x + 2 = 0

x 2 x - 2 x + 2 = 0

Então temos:

x 2 = 0 → x = 0

E:

x - 2 = 0

x = 2

E por fim:

x + 2 = 0

x = - 2

Agora precisamos voltar na equação 1, para descobrirmos os valores de y :

  • Para x = 0 :
  • y = - 0 2 + 5

    y = ± 5

  • Para x = 2 :
  • y = - 2 2 + 5

    y = 1

  • Para x = - 2 :
  • y = - - 2 2 + 5

    y = - 1

    Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   ± 5 , f 2 ,   1 e f - 2 ,   - 1 .

    Passo 3

    Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 6 x

f y y = 6 x + 6 y

f x y = 6 y

Passo 3

Para o ponto f 0 ,   ± 5 , podemos observar que f x x = 0 , então já sabemos que este ponto não é máximo ou mínimo local, sendo assim:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ 0 ∙ 6 ∙ 0 + 6 ∙ 5 - 6 ∙ ± 5 2 = - 180

Como o valor encontrado é menor que zero, podemos fizer que f 0 ,   ± 5 é um ponto de sela.

Passo 4

Já o ponto f 2 ,   1 , temos que:

f x x = 6 ∙ 2 = 12

Podemos observar que pode ser um mínimo local, vamos confirmar com:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ 2 ∙ 6 ∙ 2 + 6 ∙ 1 - 6 ∙ 1 2 = 216 - 36

f x x f y y - f x y 2 = 180

Podemos observar que o ponto crítico 2 ,   1 é um mínimo local.

Passo 5

Já o ponto f - 2 ,   - 1 , temos que:

f x x = 6 ∙ - 2 = - 12

Podemos observar que pode ser um máximo local, vamos confirmar com:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ ( - 2 ) ∙ 6 ∙ - 2 + 6 ∙ - 1 - 6 ∙ - 1 2 = 216 - 36

f x x f y y - f x y 2 = 180

Podemos observar que o ponto crítico - 2 ,   - 1 é um máximo local.

Resposta

  • f 0 ,   ± 5 ponto de selal;
  • f 2 ,   1 mínimo local;
  • f - 2 ,   - 1 máximo local.
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