Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = ln ⁡ x + y + x 2 - y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 1 x + y + 2 x

f y = 1 x + y - 1

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

1 x + y + 2 x = 0         ( I ) 1 x + y - 1 = 0     ( I I )

Isolando y da equação (II):

1 x + y = 1

x + y = 1

y = 1 - x

Substituindo na equação (I):

1 x + 1 - x = - 2 x        

- 2 x = 1

x = - 1 2

Voltando para a equação (II):

y = 1 - - 1 2 = 3 2

Sendo assim, temos o ponto - 1 2 , 3 2 .

Passo 3

Com o ponto encontrado no Passo 2, precisamos definir se é de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 2 - 1 x + y 2

f y y = - 1 x + y 2

f x y = - 1 x + y 2

Passo 4

Sendo assim, temos:

f x x f y y - f x y 2 = 2 - 1 - 1 2 + 3 2 2 ∙ - 1 - 1 2 + 3 2 2 - - 1 - 1 2 + 3 2 2 2

= 1 ∙ - 1 - 1 = - 2

Como o valor encontrado é menor que zero, podemos dizer que - 1 2 , 3 2 é um ponto de sela

Resposta

  • f - 1 2 , 3 2 ponto de sela.

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