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Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas

r 2 = sen ⁡ 2 θ

r 2 = cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Quer dizer então que precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

Vamos olhar as duas curvas pras ver o que estamos buscando:

Pela figura, podemos perceber que existem três pontos de interseção entre as duas curvas. Vamos buscar esses pontos.

Igualando as curvas:

r 2 = sen ⁡ 2 θ = cos ⁡ 2 θ

sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 θ = 1

2 θ = π 4   o u 5 π 4

AIIIIIIIÍ, parece que tá tudo muito bem, tá tudo muito bom.

Só que temos um porém.

Como essa tangente veio de equações que envolviam r 2 , tanto o seno quanto o cosseno do nosso ângulo θ tem que ser positivos.

Isso significa que para achar esse θ que tá no terceiro quadrante, vamos ter que considerar um intervalo de θ > 2 π .

Assim, teremos também para tangente igual a 1:

2 θ = 9 π 4

θ = 9 π 8

Além do nosso

θ = π 4

Que tá valendo também.

Okok?

Além disso, pela figura, podemos ver também que a origem também é um ponto de interseção.

Passo 2

Agora que já encontramos os valores de θ para os quais as duas curvas se intersectam, vamos encontrar o valor de r também?

Assim a gente forma o ponto ( r ,   θ ) bonitinho e fecha logo a questão!

Para isso, é só substituir os valores de θ em uma das curvas, já que como é um ponto de inteseção, tanto faz a curva que vamos escolher, as duas vão dar o mesmo ponto!

Para θ = π 8 :

r 2 = sen ⁡ π 4 = 2 2

r = 2 4 2

Para θ = 9 π 8 :

r 2 = sen ⁡ 9 π 8 = 2 2

r = 2 4 2

ABRE PARENTESES: se a gente tivesse deixado o θ = 5 π 8 ia chegar nesse momento e o seno ia dar negativo e ai a gente ia ficar com uma raiz de numero negativo e ai ia dar um ruim danado.... FECHA PARENTESES.

Os pontos de interseção são portanto:

P 1 = 0 , 0  

P 2 = 2 4 2 , π 8

P 3 = 2 4 2 , 9 π 8

Resposta

P 1 = 0,0  

P 2 = 2 4 2 , π 8

P 3 = 2 4 2 , 9 π 8

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