Enunciado

Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento

r = cos 4 ⁡ θ 4

Passo 1

Olá, meu amigo. A gente vai traçar a curva da função:

r = cos 4 ⁡ θ 4

Que é uma função parametrizada.

Iremos traçar essa curva com o auxílio do GeoGebra, além disso, vamos também calcular o comprimento da curva.

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

Onde a , b é o intervalo que queremos calcular o comprimento da curva.

Passo 2

Vamos começar traçando a curva, até mesmo pra gente poder descobrir o intervalo de variação do θ , e consequentemente o a , b .

Se fizermos 0 ≤ θ ≤ 2 π teremos:

Que tem mó cara de ser uma curva pela metade né? Hahaha

Então vamos traçar essa curva de 0 até 4 π , que aí sim teremos uma curva completa!

Passo 3

Agora vamos calcular o comprimento.

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

O intervalo de integração a gente descobriu ali no passo 1:

a = 0

b = 4 π

Os outros termos da integral vão ficar:

r = cos 4 ⁡ θ 4

r 2 = cos 8 ⁡ θ 4

Derivando a equação de r , precisamos utilizar a regra da cadeia:

d r d θ = 4 d d u u 4 ∙ d d θ cos ⁡ θ 4

d r d θ = 4 cos 3 ⁡ θ 4 ∙ - 1 4 sen ⁡ θ 4

d r d θ = - cos 3 ⁡ θ 4 sen ⁡ θ 4

Agora elevando ao quadrado:

d r d θ 2 = cos 6 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 4

Passo 4

Substituindo tudo na integral:

L = ∫ 0 4 π cos 8 ⁡ θ 4 + cos 6 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 4   d θ

Vamos colocar em evidencia o termo do cosseno elevado a 6ª pois assim conseguiremos utilizar de uma identidade trigonométrica:

L = ∫ 0 4 π cos 6 ⁡ θ 4 cos 2 ⁡ θ 4 + sen 2 ⁡ θ 4   d θ

Reescrevendo:

L = ∫ 0 4 π cos 6 ⁡ θ 4 1   d θ

Retirando da raiz:

L = ∫ 0 4 π cos 3 ⁡ θ 4   d θ

A gente pode reescrever dessa forma:

L = ∫ 0 4 π cos ⁡ θ 4 ∙ cos 2 ⁡ θ 4 d θ

Utilizando da identidade trigonométrica:

L = ∫ 0 4 π cos ⁡ θ 4 - cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ 4 d θ

Vamos dividir para conquistar:

L = ∫ 0 4 π cos ⁡ θ 4 d θ - ∫ 0 4 π cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ 4 d θ

Com uma substituição simples resolvemos:

∫ cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ 4 d θ

u = sin ⁡ θ 4

d u = 1 4 cos ⁡ θ 4 d θ

E assim:

4 ∫ u 3 d u

4 3 sin 3 ⁡ θ 4

O gráfico do primeiro é positivo em todo o seu comprimento, mas o segundo é positivo até 2 π , negativo até 4 π , exatamente cancelando a primeira metade. Podemos corrigir isso alterando os limites para 0 a 2 π e dobrando-os.

L = 2 4 sin ⁡ θ 4 - 4 3 sin 3 ⁡ θ 4 0 2 π

Calculando com o intervalo de integração:

L = 2 4 - 4 3 - 0

Temos então:

L = 12 - 4 3

L = 2 ∙ 8 3

L = 16 3

Resposta

L = 16 3

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