Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas

r = 1

r = 2 sen ⁡ 2 θ

Passo 1

Quer dizer então que precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

Vamos olhar as duas curvas pras ver o que estamos buscando:

Pela figura, podemos perceber que existem oito pontos de interseção entre as duas curvas. Vamos buscar esses pontos.

Igualando as curvas:

r = 2 sen ⁡ 2 θ = 1

sen ⁡ 2 θ = 1 2

2 θ = π 6   o u 5 π 6  

Assim

θ = π 12

Ou

θ = 5 π 12

E com isso, só encontramos dois pontos.

Mas aí, se considermos θ > 2 π , teremos também, para seno igual a 1 2 ,

2 θ = 13 π 6   o u 17 π 6  

Assim,

θ = 13 π 12

Ou

θ = 17 π 12

Até aqui temos então 4 valores de θ e, portanto, 4 pontos de interseção. Mas pela figura, sabemos que temos 8 pontos, então ainda faltam 4 .

Passo 2

Acontece que, equações do tipo r = a representam, na real, um círculo centrado na origem e com raio | a | , ou seja, a equação

r = 1

E

r = - 1

São equivalentes.

Isso quer dizer que nosso r valendo - 1 também. E aí nesse caso, teremos

r = 2 sen ⁡ 2 θ = - 1

sen ⁡ 2 θ = - 1 2

2 θ = 7 π 6   o u 11 π 6  

Assim,

θ = 7 π 12

Ou

θ = 11 π 12

Mais dois pontos!!

E se considerarmos θ > 2 π , ainda teremos

2 θ = 19 π 6   o u 23 π 6  

Assim,

θ = 19 π 12

Ou

θ = 23 π 12

UHUL, agora temos oito valores de θ !

Passo 3

Vamos organizar nossos pontos de interseção então?

Para r = 1 nós achamos que θ poderia valer:

θ = π 12

θ = 5 π 12

θ = 13 π 12

θ = 17 π 12

E para r = - 1 nós achamos que θ poderia valer:

θ = 7 π 12

θ = 11 π 12

θ = 19 π 12

θ = 23 π 12

E esses são nossos pontos ( r , θ ) de interseção.

Resposta

Para r = 1 ,   θ pode valer:

θ = π 12

θ = 5 π 12

θ = 13 π 12

θ = 17 π 12

E para r = - 1 , θ pode valer:

θ = 7 π 12

θ = 11 π 12

θ = 19 π 12

θ = 23 π 12

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