Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 22
Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide
Passo 1
Vamos plotar o tal do laço do estrofoide para termos ideia da área que a gente tá calculando.
Portanto, queremos a área dessa região sombreada.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Passo 2
O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.
Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção da curva com ela mesma, já que queremos a área de dentro do laço.
Para isso, igualamos a zero (ou igualar , o que daria no mesmo):
Ou
Para , que é o intervalo no qual nossa curva dá uma volta completa, ok?
Assim, esses são os dois valores de no qual a curva se intersecta, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:
Então, o intervalo de integração é
Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!
Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de até e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham? Vai ficar um negócio assim:
Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!
Passo 3
Continuando, falta a gente descobrir quem é o .
O é a própria parametrização. Assim,
Então agora é só substituir e integrar esse negocio.
Passo 4
Vamos lá:
Assim, a área total da curva é
Resposta
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