Enunciado

Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide

r = 2 cos theta - sec theta

Passo 1

Vamos plotar o tal do laço do estrofoide para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção da curva com ela mesma, já que queremos a área de dentro do laço.

Para isso, igualamos r a zero (ou igualar r = r , o que daria no mesmo):

r = 2 cos theta - sec theta = 0

r = 2 cos theta - (1)/(cos theta) = 0

2 cos^2 theta - 1 = 0

cos^2 theta = (1)/(2)

cos theta = +- (sqrt(2))/(2)

theta = (pi)/(4)

Ou

theta = (3 pi)/(4)

Para 0 <= theta <= pi , que é o intervalo no qual nossa curva dá uma volta completa, ok?

Assim, esses são os dois valores de theta no qual a curva se intersecta, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

(pi)/(4) <= theta <= (3 pi)/(4)

Então, o intervalo de integração é

a = (pi)/(4)

b = (3 pi)/(4)

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de theta = 0 até theta = (pi)/(4) e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham? Vai ficar um negócio assim:

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Assim,

r = 2 cos theta - sec theta

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) (2 cos theta - sec theta)^2 d theta

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) 4 cos^2 theta - 4 cos theta sec theta + sec^2 theta d theta

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) 4 * (1)/(2) ( 1 + cos 2 theta ) - (4 cos theta)/(cos theta) + sec^2 theta d theta

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) 2 ( 1 + cos 2 theta ) - 4 + sec^2 theta d theta

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) - 2 + 2 cos 2 theta + sec^2 theta d theta

A_1 = (1)/(2) [- 2 theta + (2)/(2) sen 2 theta + tan theta] [[(pi)/(4)],[0]]

A_1 = (1)/(2) [(- 2 . (pi)/(4) + sen (pi)/(2) + tan (pi)/(4)) - (- 2 . 0 + sen 0 + tan 0)]

A_1 = (1)/(2) [(- (pi)/(2) + 1 + 1) - (0 + 0 + 0)]

A_1 = 1 - (pi)/(4)

Assim, a área total da curva é

A = 2 xx A_1 = 2 - (pi)/(2)

Resposta

A = 2 - (pi)/(2)

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