Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.

37-

r = s e n   θ ,         r = cos ⁡ θ

Passo 1

Primeiramente vamos igualar os r das duas equações:

s e n   θ = cos ⁡ θ

Dividindo por cosseno as duas equação nós teremos:

tan ⁡ θ = 1

E teremos essa equação como verdadeira em apenas dois pontos:

θ = π 4 ;     θ = 5 π 4

E esses valore terão valores de r iguais a:

r = s e n π 4 = 2 2

r = s e n π 4 = - 2 2

Vamos fazer uma tabela com os ângulos de θ mais conhecidos e comparar.

E vamos passar essas coordenadas polares para cartesianas:

x = r cos ⁡ θ

Para r = sin ⁡ θ

x = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E para r = cos ⁡ θ

x = cos 2 ⁡ θ

Logo x para r = cos ⁡ θ nunca poderá assumir valores negativos.

O mesmo raciocínio é válido para a coordenada cartesiana y

y = r   s e n   θ

Onde para r = s e n   θ teremos y = s e n 2 θ   logo y nunca será negativo para essa função. O que nos diz então que não poderemos ter θ = 5 π 4 como interseção.

Com isso temos nosso ponto polar igual a:

r , θ = 2 2 , π 4

Passo 2

Outra posição de encontro das duas funções é que elas começam na origem com r = 0 , porém ambas terão angulações iniciais diferentes:

0 = cos ⁡ θ → θ = π 2  

0 = sin ⁡ θ → θ = 0  

Em coordenadas cartesianas esse ponto será igual a:

x , y = 0,0

Gráfico das duas funções:

Os valores de r em cosseno serão negativos quando passam de θ = π / 2 tendo valores abaixo de y .

Pois os valores de x que são iguais a x = r cos ⁡ θ   vão ser iguais a x = cos 2 ⁡ θ   nunca sendo negativos.

Os valores de r para a função seno serão negativos quando passam de θ = π e somente terá termos positivos em y , pois ficará igual a y = r   s e n   θ = s e n 2 θ nunca sendo negativos em y .

Resposta

r , θ = 2 2 , π 4

x , y = ( 0,0 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas r = 1 r = 2 sen ⁡ 2 θ
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas r = 1 - cos ⁡ θ r = 1 + sen ⁡ θ
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas r 2 = sen ⁡ 2 θ r 2 = cos ⁡ 2 θ
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.39- r = cos ⁡ θ , r = 1 - cos ⁡ θ