Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.

39-

r = cos ⁡ θ ,     r = 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

As duas funções podem ter r = 0 então um ponto de interseção com certeza é nesse momentos então:

cos ⁡ θ = 0 → θ = π 2 ; θ = 3 π 2

E

1 - cos ⁡ θ = 0 → cos ⁡ θ = 1 → θ = 0 ;     θ = π

Porém a função cosseno completa toda a sua trajetória em metade do período então só precisamos do primeiro ponto (não que os outros ângulos não sejam é só que se repete) ou seja:

Para r = cos ⁡ θ → ( 0,0 )

Para r = 1 - cos ⁡ θ → 0 , π 2

Na forma polar (partindo da origem) seria ( 0,0 ) mesmo, as representações acima são referentes na própria função.

Passo 2

Agora vamos igualar os r .

cos ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2 = r

θ = ± π 3

Dessa forma os pontos serão:

1 2 ,   ± π 3

Esses pontos com certeza terão representações diferentes para as funções mas de forma polar é assim.

Gráfico das funções:

Resposta

Para r = cos ⁡ θ → ( 0,0 )

Para r = 1 - cos ⁡ θ → 0 , π 2

1 2 ,   ± π 3

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