Enunciado

Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

y = 2 x + 5 x + 2 ; corta o eixo y em 2 .

Passo 1

Beleza, vamos achar qual a reta que passa pelo ponto ( 0 , 2 ) aqui. Para isso, vamos usar a seguinte equação da reta e perceber que, se ela é tangente à curva y = 2 x + 5 x + 2 , a inclinação dela deve ser igual à derivada da curva no ponto em que elas se tocam:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Como queremos que passe pelo ponto ( 0 , 2 ) , o coeficiente linear dessa reta deve ser 2 :

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y = m x - m x 0 + y 0

Onde m é a derivada da curva y = 2 x + 5 x + 2 num ponto arbitrário ( x 0 , y 0 ) , que é o ponto onde a reta será tangente à curva, ou seja, onde a reta e a curva se tocam, logo:

y = 2 x + 5 x + 2

Vamos derivar usando a regra do quociente:

y ' = 2 x + 5 ' x + 2 - 2 x + 5 x + 2 ' x + 2 2

y ' = x + 2 - 2 x - 5 x + 2 2 = - x - 3 x + 2 2

No ponto x = x 0 :

y ' = - x 0 - 3 x 0 + 2 2

Substituindo na equação da reta:

y = - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x - - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x 0 + y 0

Essa é a equação da reta que passa pelo ponto ( 0 , 2 ) e também é tangente à y = 2 x + 5 x + 2 , em um ponto ( x 0 , y 0 ) , que iremos descobrir qual(is) é(são).

Passo 2

Como queremos que o coeficiente linear dessa reta seja 2 . Na reta:

y = - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x - - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x 0 + y 0

O coeficiente linear é a parte sem o x :

- - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x 0 + y 0

Igualando ele a 2 :

- - x 0 - 3 x 0 + 2 2 x 0 + y 0 = 2

y 0 = 2 - x 0 + 3 x 0 + 2 2 x 0

y 0 = 2 - x 0 2 + 3 x 0 x 0 + 2 2

Passo 3

Agora, queremos saber quando que:

y 0 = 2 - x 0 2 + 3 x 0 x 0 + 2 2

Bom, esses y 0 e x 0 pertencem tanto à reta quanto à curva, quando x = x 0 → y = y 0 . Com isso, podemos voltar na curva e substituir esse ponto:

y = 2 x + 5 x + 2

Quando x 0 :

y 0 = 2 x 0 + 5 x 0 + 2

Se a gente iguala os dois y 0 que achamos:

2 x 0 + 5 x 0 + 2 = 2 - x 0 2 + 3 x 0 x 0 + 2 2

2 x 0 + 5 x 0 + 2 = 2 x 0 + 2 2 - x 0 2 - 3 x 0 x 0 + 2 2

2 x 0 + 5 x 0 + 2 = 2 x 0 + 2 2 - x 0 2 - 3 x 0

2 x 0 2 + 4 x 0 + 5 x 0 + 10 = 2 x 0 2 + 8 x 0 + 8 - x 0 2 - 3 x 0

2 x 0 2 + 4 x 0 + 5 x 0 + 10 - 2 x 0 2 - 8 x 0 - 8 + x 0 2 + 3 x 0 = 0

x 0 2 + 4 x 0 + 2 = 0

Opa, temos uma equação do segundo grau. Só precisamos resolver essa equação. Para isso, usaremos Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 16 - 8 2 = - 4 ± 2 2 2

Logo, nossas raízes são:

- 2 + 2

E

- 2 - 2

Com isso, finalmente chegamos aos pontos ao longo de y = 2 x + 5 x + 2 em que a reta tangente à essa curva nesses pontos também passa em ( 0 , 2 ) . Ufa!

Resposta

- 2 + 2 e - 2 - 2 .

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