Enunciado

Seja f x =   e 4 - x 2 x , x > 0

(a) Mostre que   f é injetora.

(b) Seja g ( x )   =   f - 1 ( x ) e defina F ( x )   =   f ( g x   2   ) . Encontre F ' 1 2

Passo 1

(a)

Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de f ( x ) , só existe um x que leva a função nesse valor.

Pra resolver isso podemos lembrar que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:

f ' x > 0           o u           f ' x < 0

No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.

Passo 2

No nosso caso:

f ' x = e 4 - x 2 x '

Usando a regra da derivada da divisão:

f ' x =   e 4 - x 2 ' x - ( e 4 - x 2 ) ( x ) ' x 2

f ' x =   ( 4 - x 2 ) ' ( e 4 - x 2 ) x - ( e 4 - x 2 ) x 2

f ' x =   ( - 2 x ) ( e 4 - x 2 ) x - ( e 4 - x 2 ) x 2

Colocando ( e 4 - x 2 ) em evidência:

f ' x =   - ( e 4 - x 2 ) ( 1 + 2 x 2 ) x 2

Como   x > 0 , o termo ( 1 + 2 x 2 ) e o termo ( x 2 ) serão sempre positivos. Além disso e 4 - x 2 também é sempre positivo, e como tem um sinal de menos ali na frente:

f ' x < 0

Isso significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo e por isso injetiva, como queríamos mostrar.

Passo 3

(b)

Para achamos F ' 1 2 , vamos começar derivando a expressão que define F x :

F ' x = f g x   2 '

Pela regra da cadeia:

F ' x = 2 g ( x )   g ' x   f ' ( g x 2 )

Masssss lembra que g x =   f - 1   x e pela propriedade de funções inversas, vale que:

f g x = x

Derivando essa expressão e usando a regra da cadeira:

f ' g x   g ' x = 1                   ⇒           g ' x = 1 f ' g x

Substituindo na nossa expressão:

F ' x = 2 g ( x ) 1 f ' g x   f ' ( g x   2 )

Fazendo x = 1 / 2 :

F ' 1 2 = 2 g 1 2 1 f ' g 1 2   f ' g 1 2   2             e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 4

Agora nosso objetivo é encontrar o valor de g 1 2 , pra isso basta trocarmos x   por y na equação original:

y =   e 4 - x 2 x                   ⇒ t r o c a n d o       x =   e 4 - y 2 y

Fazendo x = 1 / 2 :

1 2 =   e 4 - y 2 y

y 2 =   e 4 - y 2

Percebe que se colocarmos y = 2   aí dentro dá certinho? Fica:

2 2 =   e 4 - 2 2 = e 0

1 = 1  

Então vamos falar que y = g 1 2 = 2

Passo 5

Voltando pra nossa equação (1):

F ' 1 2 = 2 g 1 2 1 f ' g 1 2     f ' g 1 2   2            

F ' 1 2 = 2 2 1 f ' 2   f ' 2 2  

F ' 1 2 = 4   f ' 4 f ' ( 2 )                   e q u a ç ã o   ( 2 )  

Achanco f ' 2   e f ' ( 4 ) :

f ' ( x ) =   - e 4 - x 2 1 + 2 x 2 x 2         ⇒         f ' 2 =   - e 4 - 2 2 1 + 2 2 2 2 2 =

f ' 2 =   - 1 9 4

    ∴         f ' 2 = - 9 4

f ' x =   - e 4 - x 2 1 + 2 x 2 x 2         ⇒         f ' 4 =   - e 4 - 4 2 1 + 2 4 2 4 2  

f ' 4 =   - ( e - 12 ) ( 33 ) 16      

  ∴         f ' 4 = - 33 16   e - 12

Passo 6

Substituindo isso em (2)

F ' 1 2 = 4   f ' 4 f ' ( 2 )    

F ' 1 2 = 4   - 33 16   e - 12 - 9 4    

F ' 1 2 = 4   - 33 16   e - 12 - 4 9

F ' 1 2 = 11 3   e - 12

Resposta

(a) Mostrado no desenvolvimento

(b) F ' 1 2 = 11 3   e - 12

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