Enunciado

Encontre os três ângulos internos de um triângulo, cujo os vértices são:

A ( 1,0 , - 1 )

B 3 , - 2,0

C ( 1,3 , 3 )

Passo 1

A ( 1,0 , - 1 )

B 3 , - 2,0

C ( 1,3 , 3 )

Bom galera, primeiro a gente encontra os vetores que formam os ângulos, e eles são a diferença dos pontos, bem assim:

A B → = B - A = ( 2 , - 2,1 )

A C → = C - A = ( 0,3 , 4 )

B C → = C - B = ( - 2,5 , 3 )

B A → = A - B = ( 0,2 , - 1 )

Vamos começar calculando o ângulo entre A B → e A C → .

Passo 2

Beleza, por definição o cosseno do ângulo entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = A B → × A C → A B → ⋅ A C →

Ou seja, é a soma dos produtos de cada uma das dimensões dos vetores dividido pelo produto da norma euclidiana desses vetores, essa norma é a mesma coisa que pitagorás, sabe?

Pois é, se a gente pegar a função inversa do cosseno a gente vai encontrar o ângulo:

θ = cos - 1 ⁡ A B → × A C → A B → ⋅ A C →

Passo 3

Agora, a gente vai calcular a soma dos produtos das dimensões dos vetores:

A B → × A C → = 2 ⋅ 0 + - 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4

A B → × A C → = - 2

Passo 4

E para o produto dos normalizados vamos calcular as normas:

A B → = 2 2 + ( - 2 ) 2 + 1 = 9

E:

A C → = 0 2 + 3 2 + 4 2 = 25

Assim o produto dos dois é:

A B → ⋅ A C → = 9 ⋅ 25 = 225 = 15

Passo 5

Calma, agora é só botar naquela forma, essa aqui:

θ = cos - 1 ⁡ A B → × A C → A B → ⋅ A C →

Fica:

θ = cos - 1 ⁡ - 2 15 = 97,66 °

Passo 6

Fazendo o mesmo nos outros ângulos encontramos:

α = 56,4 °

β = 25,94 °

Resposta

θ = 97,66 °

α = 56,4 °

β = 25,94 °

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