Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão.

(b) sen^(- 1) (sen ((7 pi)/(3)))

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Então.. a questão nos pede para resolver a seguinte expressão:

sen^(- 1) (sen ((7 pi)/(3)))

Para isso, vamos relembrar do que se trata o sen^(- 1) (x) , ou seja, a função arco seno.

Essa função fornece um número real que corresponde a um arco no intervalo ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[ cujo valor do seno é x .

Em outras palavras, a função arco seno é a função inversa da função seno, uma vez que, para:

x in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[

Então:

y = sen (x) <=> sen^(- 1) ( y ) = x

sen^(- 1) (sen (x)) = x

Passo 2

Além disso, um importante conceito em funções trigonométricas é que a adição ou subtração de múltiplos inteiros de 2 pi na ordenada não interfere no resultado. Por exemplo:

sen (x) = sen (x + 2 k pi)

cos (x) = cos (x + 2 k pi)

tal que: k in Z

Passo 3

Observando o valor (7 pi)/(3) notamos que se trata de um arco notável, já que:

(7 pi)/(3) = 2 pi + (pi)/(3)

Agora, vamos simplificar a expressão:

sen^(- 1) (sen ((7 pi)/(3))) = sen^(- 1) (sen (2 pi + (pi)/(3))) = sen^(- 1) (sen ((pi)/(3)))

Agora sim, pra finalizar, tendo em monte que (pi)/(3) corresponde a um arco notável e que (pi)/(3) in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[ , usando a propriedade do Passo 1:

sen^(- 1) (sen ((7 pi)/(3))) = sen^(- 1) (sen ((pi)/(3))) = (pi)/(3)

Entendeu direitinho?? Responde aeee!

Resposta

sen^(- 1) (sen ((7 pi)/(3))) = (pi)/(3)

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