Encontre o valor exato de cada expressão.

(b) sen^(-1)(sen(7pi/3))

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Então.. a questão nos pede para resolver a seguinte expressão:

sen - 1 ⁡ sen ⁡ 7 π 3

Para isso, vamos relembrar do que se trata o sen - 1 ⁡ x , ou seja, a função arco seno.

Essa função fornece um número real que corresponde a um arco no intervalo - π 2 , π 2 cujo valor do seno é x .

Em outras palavras, a função arco seno é a função inversa da função seno, uma vez que, para:

x ∈ - π 2 , π 2

Então:

y = sen ⁡ x   ⇔   sen - 1 ⁡ ( y ) = x

sen - 1 ⁡ sen ⁡ x = x

Passo 2

Além disso, um importante conceito em funções trigonométricas é que a adição ou subtração de múltiplos inteiros de 2 π na ordenada não interfere no resultado. Por exemplo:

sen ⁡ x = sen ⁡ x + 2 k π

cos ⁡ x = cos ⁡ x + 2 k π

tal que: k ∈ Z

Passo 3

Observando o valor 7 π 3 notamos que se trata de um arco notável, já que:

7 π 3 = 2 π + π 3

Agora, vamos simplificar a expressão:

sen - 1 ⁡ sen ⁡ 7 π 3 = sen - 1 ⁡ sen ⁡ 2 π + π 3 = sen - 1 ⁡ sen ⁡ π 3

Agora sim, pra finalizar, tendo em monte que π 3 corresponde a um arco notável e que π 3 ∈ - π 2 , π 2   , usando a propriedade do Passo 1:

sen - 1 ⁡ sen ⁡ 7 π 3 = sen - 1 ⁡ sen ⁡ π 3 = π 3

Entendeu direitinho?? Responde aeee!

Resposta

sen - 1 ⁡ sen ⁡ 7 π 3 = π 3

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