Enunciado

Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f ( x ) . Em cada caso, determine f - 1 ( x ) e identifique o domínio e a imagem de f - 1 . Para conferir, mostre que f f - 1 x = f - 1 f x = x .

27. f x = x 3 + 1

Passo 1

Para fazermos a inversa de uma função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função x = f ( y ) , isto é, isolar a variável x na função (supondo que x seja a nossa variável) e em seguida trocar as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é y = f ( x ) , tranquilo? Sei que parece um bixo de 7 cabeças, mas prometo que não é. Vamos devagarinho que tudo vai fazer sentido, ok? Show!

Passo 2

A nossa função é y = x 3 + 1 , certo? Isolando x na equação, teremos:

x 3 = y - 1

∴ x = y - 1 3

E o que encontramos aqui é uma função x = f y . Agora que encontramos a função x = f ( y ) , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é y = f ( x ) . Sendo assim, a inversa da f será:

y =   x - 1 3

∴ f - 1 x = x - 1 3

Passo 3

Quanto ao domínio e imagem galera, temos que: seja D o domínio de uma função f e R a imagem dessa mesma função   f , isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem!

Determinando o domínio de f x = x 3 + 1 : nessa função podemos substituir qualquer valor de x , sem restrição alguma, não é mesmo? Sendo assim, podemos concluir que a nossa função admite TODOS os valores possíveis de x . Logo:

Domínio de f x = ( - ∞ ,   ∞ )

Determinando a imagem de f x = x 3 + 1 : como o nosso domínio admite qualquer valor de x , então é natural pensarmos que a imagem da nossa função também admitirá qualquer valor de y , certo? Logo:

Imagem de f x = ( - ∞ ,   ∞ )

Agora que determinamos o domínio e a imagem da nossa f x , para determinarmos o domínio e a imagem de f - 1 x basta invertermos os resultados, se liga:

Domínio de   f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Note que inverter não fez nenhuma diferença nesse caso porque a imagem coincidiu com o domínio, mas a princípio basta fazermos essa inversão e pronto, ok? Show!

Passo 4

Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, realmente, inversa!

f f - 1 x → Inversa dentro da função;

f - 1 f x → Função dentro da inversa.

f f - 1 x = x - 1 3 3 + 1

f f - 1 x = x - 1 + 1 = x

Opa, a primeira deu bom! Agora para a segunda:

f - 1 f x = x 3 + 1 - 1 3

f - 1 f x = x 3 3 = x

E a segunda também deu bom! Dessa forma, concluímos que:

f f - 1 x = f - 1 f x = x

Como o enunciado nos pediu. Portanto, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!

Resposta

f - 1 x = x - 1 3

Domínio de   f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

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