Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão.

b) sen ⁡ 2 . sen - 1 ⁡ 3 5

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o valor exato da seguinte expressão:

sen ⁡ 2 . sen - 1 ⁡ 3 5

Para isso, vamos começar lembrando que: sen - 1 ⁡ x é a função que fornece o arco no intervalo   - π 2 , π 2 cujo valor do seno é x .

Em outras palavras, a função arco seno é a função inversa da função seno, uma vez que, para:

x ∈ - π 2 , π 2

Resumindo:

y = sen ⁡ x

sen - 1 ⁡ ( y ) = x

Então pra resolver, a gente vai ter que aplicar essa inversão!

Passo 2

Para facilitar essa resolução, vamos usar a variável auxiliar θ . Adotando que:

θ = sen - 1 ⁡ 3 5

Podemos concluir que:

sen ⁡ θ = 3 5

E substituindo θ na expressão original, ficamos com:

sen ⁡ 2 . sen - 1 ⁡ 3 5 = sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora vamos utilizar uma identidade trigonométrica, que é essa aqui abaixo:

sen ⁡ 2 x = 2 . sen ⁡ x . cos ⁡ x

E aí, quando aplicarmos na expressão anterior, ficamos com:

sen ⁡ 2 θ = 2 . sen ⁡ θ . cos ⁡ θ

Notamos aí que já possuímos o valor de sen ⁡ θ desde Passo 2, e assim só resta chegar no cos ⁡ θ para chegarmos na resposta.

Passo 4

Agora pra finalizar, vamos usar outra identidade trigonométrica:

sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 = 1

E aí:

cos ⁡ x = 1 - sen ⁡ x 2

E assim, vamos aplicá-la naquela expressão que obtivemos no Passo 3, e aí temos o seguinte:

2 . sen ⁡ θ . cos ⁡ θ = 2 . sen ⁡ θ . 1 - sen ⁡ θ 2

E lembra que lá no passo 2 nós definimos que sen ⁡ θ = 3 5 ?

2 . sen ⁡ θ . 1 - sen ⁡ θ 2 = 2 . 3 5 . 1 - 3 5 2

Nossa resposta então é:

sen ⁡ 2 . sen - 1 ⁡ 3 5 = 24 25

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

24 25

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