Enunciado

Encontre o valor de a para o qual o limite

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( a x ) - sen ⁡ x - x x 3

É finito e avalie o limite.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, escreveremos as funções sen ⁡ x e sen ⁡ a x usando a série de Taylor em x = 0 . A série de Taylor da função seno é:

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ,     ∀ x ∈ R

Que pode ser escrita como

sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

Se nós incluímos o termo a x no lugar de x na expressão de sen ⁡ x .

sen ⁡ a x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( a x ) 2 n + 1 2 n + 1 ! ,     ∀ x ∈ R

Que pode ser escrita como

sen ⁡ a x = ( a x ) - ( a x ) 3 3 ! + a x 5 5 ! - a x 7 7 ! + …

Passo 2

Concluímos que podemos escrever o numerador como:

sen ⁡ a x - sen ⁡ x - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n a x 2 n + 1 2 n + 1 ! - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! - x  

Expandindo os termos da série, nós obtemos o seguinte resultado

sen ⁡ a x - sen ⁡ x - x = a x - ( a x ) 3 3 ! + a x 5 5 ! - a x 7 7 ! + … - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … - x

Com isso, nós temos que

sen ⁡ a x - sen ⁡ x - x = a - 2 x - a 3 - 1 3 ! x 3 + a 5 - 1 5 ! x 5 + …

Se nós dividimos a expressão por x 3 , nós temos a seguinte fração

sen ⁡ a x - sen ⁡ x - x x 3 = a - 2 x 2 - a 3 - 1 3 ! + a 5 - 1 5 ! x 2 + …

Agora vamos analisar o limite quando x → 0 .

Passo 3

Para o limite

lim x → 0 ⁡ a - 2 x 2 - a 3 - 1 3 ! + a 5 - 1 5 ! x 2 + …

Ser finito, o termo a - 2 precisa a 0 . Então, vamos supor o seguinte, se a - 2 é diferente de zero, então o termo a - 2 x 2 vai para o infinito quando x vai para 0 , com isso, a expressão

a 3 - 1 3 ! + a 5 - 1 5 ! x 2 + …

Vai para - a 3 - 1 3 ! (porque todas as expressões depois de x 2 contêm x ). Infinito menos um número finito ainda é infinito. Portanto, se o limite for um número finito, então a expressão a - 2 deve ser igual a 0 , ou seja, a deve ser igual a 2 .

Se nós incluímos a = 2 na expressão, nós temos que

lim x → 0 ⁡ 2 - 2 x 2 - 2 3 - 1 3 ! + a 5 - 1 5 ! x 2 + … = lim x → 0 ⁡ - 7 3 ! - 31 5 ! x 2 + …

Com isso, obtemos o seguinte resultado

lim x → 0 ⁡ 2 - 2 x 2 - 2 3 - 1 3 ! + a 5 - 1 5 ! x 2 + … = - 7 3 ! = - 7 6

Resposta

O   l i m i t e   é   f i n i t o   p a r a   a = 2 ,   c o m   r e s u l t a d o   i g u a l   a - 7 6

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