Enunciado

A fórmula de Taylor

f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + f n + 1 a ( n + 1 ) ! x - a n + 1

expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas em x = a . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de f em que estamos interessados para que x - a n + 1 seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.

Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de x ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.

11. e x próximo de x = 0,4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos f x = e x . Temos que encontrar os valores de f ( x ) perto do ponto x = 0,4 . O ponto mais próximo de 0,4 é 0​ onde podemos facilmente calcular f , os valores de f e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de a = 0 . A série de Taylor para a função f ( x ) no ponto a = 0 é dada por

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 !   x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 !   x - 0 3 + …

Passo 2

Agora, nossa missão é encontrar f 0 ,     f ' 0 ,     f ' ' 0   e   f ' ' ' 0 . Diferenciando f ( x ) três vezes, obtemos que

f x = e x

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

Agora, fazendo a substituição de x = 0 , nós temos que

f 0 = 1

f ' 0 = 1

f ' ' 0 = 1

f ' ' ' 0 = 1

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f no ponto x = 0 é igual a

f x = e x = 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 !   x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 !   x - 0 3 + …

Substituindo os termos

f x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Resposta

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Taylor sempre converge para sua função geradora? Explique.
O que é a série de Taylor gerada por uma função f (x) em um ponto x = a? Quais informações você precisa saber sobre f para construir a série? Dê um exemplo.
Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f ( x ) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série? 54. 1 - π 2 9 ∙ 2 ! +
Encontre a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 57-64.57. 1 1 - 2 x
Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f ( x ) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série? 56. 1 3 - 1 9 3 + 1 45