Enunciado

Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento de uma partícula que parte em (a, 0) e traça a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 :

a. uma vez em sentido horário.

b. uma vez em sentido anti-horário.

c. duas vezes em sentido horário.

d. duas vezes em sentido anti-horário.

(Assim como no Exercício 19, pode haver muitas respostas corretas.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - As equações paramétricas mais comuns para uma elipse com equação x a 2 + y b 2 = 1 começando em ( a , 0 ) são x = a cos ⁡ t  e  y = b sen ⁡ t e leva 2 π radianos para contorne a elipse uma vez, por isso 0 ≤ t ≤ 2 π . No entanto, ele traça a elipse no sentido anti-horário, em vez de no sentido horário (isso explica a resposta da parte b).

B - No início da tarefa, notamos que a equação dada é uma elipse com eixo maior a e eixo menor b. Para determinar a parametrização da elipse, vamos relembrar a identidade trigonométrica pitagórica. De acordo com a identidade trigonométrica pitagórica, a relação entre seno e cosseno é dada pela seguinte expressão

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

A equação de uma elipse com eixo maior igual a a e eixo menor igual a b é dada por:

x a 2 + y b 2 = 1

Portanto, vamos introduzir a parametrização descrita acima:

x = a cos ⁡ t

y = b sen ⁡ t

A partícula percorrerá uma elipse uma vez, ou seja, o ângulo t assumirá o valor de um ângulo completo uma vez. Como a medida de um ângulo completo é 2 π , o maior valor do ângulo t será 2 π . Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo t assume valores positivos.

Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,2π].

Concluímos que a parametrização da elipse quando a partícula se move ao longo dela duas vezes no sentido anti-horário é:

x = a cos ⁡ t

y = b sen ⁡ t

Passo 2

C - A equação de uma elipse com eixo maior igual a a e eixo menor igual a b é dada por:

x a 2 + y b 2 = 1

Portanto, vamos introduzir a parametrização descrita acima:

x = a cos ⁡ t

y = b sen ⁡ t

A partícula percorrerá uma elipse duas vezes, ou seja, o ângulo t assumirá o valor de um ângulo completo duas vezes. Como a medida de um ângulo completo é 2 π , o maior valor do ângulo t será 4 π . Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo t assume valores positivos. Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,4π]. Quando olhamos no sentido horário, sua medida é a mesma de quando olhamos no sentido anti-horário, apenas o sinal é negativo. Portanto, se incluirmos - t em vez de t nas expressões

x = a cos ⁡ - t

y = b sen ⁡ ( - t )

Onde t ∈ [ 0,4 π ] . A função cosseno é uma função par e a função seno é ímpar. Portanto, podemos escrever as parametrizações anteriores como:

x = a cos ⁡ t

y = - b sen ⁡ t

Passo 3

D - Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo t assume valores positivos. Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,4π]. Quando olhamos no sentido horário, sua medida é a mesma de quando olhamos no sentido anti-horário, apenas o sinal é negativo. Portanto, se incluirmos - t em vez de t nas expressões

x = a cos ⁡ t

y = b sen ⁡ ( t )

Onde t ∈ [ 0,4 π ] . Concluímos que a parametrização da elipse quando a partícula se move ao longo dela duas vezes no sentido anti-horário é:

x = a cos ⁡ t

y = b sen ⁡ t

Resposta

Respondido acima!

Exercícios de Livros Relacionados

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = 2 + cos ⁡ t y = 3 + sen ⁡ t 0 ≤ t ≤ 2 π
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: x = t 2 y = t 3
Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva:O raio (semirreta) com ponto inicial (2, 3) que passa pelo ponto (-1, -1).
Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva:A metade esquerda da parábola y = x2 + 2x.
Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva:o segmento de reta com extremidades (-1, 3) e (3, -2).