Enunciado

Encontre o valor médio de f ( x ) = e^x + e^(- x) acima do intervalo [ ln (3)/(2) , ln 2 ] .

Passo 1

Para a representação do valor médio, usamos a expressão:

f_m = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Portanto, substituindo os dados:

f_m = (1)/(ln 2 - ln (3)/(2)) int_(ln (3)/(2))^(ln 2) e^x + e^(- x) d x

Passo 2

Usando a identidade e^x + e^(- x) = 2 cosh x , temos que:

f_m = (1)/(ln 2 - ln (3)/(2)) int_(ln (3)/(2))^(ln 2) 2 cosh x d x

Logo,

= (1)/(ln ((4)/(3))) [2 sinh x]_(ln (3)/(2))^(ln 2)

= (1)/(ln ((4)/(3))) [2 sinh (ln 2) - 2 sinh (ln (3)/(2))]

= (1)/(ln ((4)/(3))) xx (2)/(3)

f_m = (2)/(3 ln ((4)/(3)))

Prontinho!!

Resposta

f_m = (2)/(3 ln ((4)/(3)))

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