Encontre o valor médio de f(x) = e^x + e^(-x) acima do intervalo ln(3/2), ln(2) .

Passo 1

Para a representação do valor médio, usamos a expressão:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Portanto, substituindo os dados:

f m = 1 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 2 ∫ ln ⁡ 3 2 ln ⁡ 2 e x + e - x d x

Passo 2

Usando a identidade e x + e - x = 2 cosh ⁡ x , temos que:

f m = 1 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 2 ∫ ln ⁡ 3 2 ln ⁡ 2 2 cosh ⁡ x d x

Logo,

= 1 ln ⁡ 4 3 2 sinh ⁡ x ln ⁡ 3 2 ln ⁡ 2

= 1 ln ⁡ 4 3 2 sinh ⁡ ln ⁡ 2 - 2 sinh ⁡ ln ⁡ 3 2

= 1 ln ⁡ 4 3 × 2 3

f m = 2 3 ln ⁡ 4 3

Prontinho!!

Resposta

f m = 2 3 ln ⁡ 4 3

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