Enunciado

Encontre o valor médio de f na região D .

f (x , y) = x sen y , D é l i m i t a d o p e l a s c u r v a s y = 0 , y = x^2 e x = 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O valor médio de f é dado pela expressão:

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x

Passo 2

Vamos esboçar a região D :

Seja (1)/(A (D)) a área da região D , temos que:

(1)/(A (D)) = int_0^1 x^2 d x

(1)/(A (D)) = [(x^3)/(3)]_0^1 = (1)/(3)

Passo 3

Agora, podemos encontrar o valor médio de f :

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (1)/(1 // 3) ∬_D^() x sen y d y d x

3 int_0^1 int_0^(x^2) x sen y d y d x

Resolvendo a integral de dentro, temos:

int_0^(x^2) x sen y d y = x [cos y]_0^(x^2)

int_0^(x^2) x sen y d y = x cos x^2 - x cos 0

int_0^(x^2) x sen y d y = x cos x^2 - x

Portanto:

3 int_0^1 int_0^(x^2) x sen y d y d x = 3 int_0^1 (x cos x^2 - x) d x

Resolvendo, temos:

3 int_0^1 (x cos x^2 - x) d x = 3 [(x^2)/(2)]_0^1 - (3)/(2) [sen u]_0^1

Onde u = x^2 . Logo:

3 int_0^1 (x cos x^2 - x) d x = (3)/(2) (1 - sen 1)

Portanto:

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (3)/(2) (1 - sen 1)

Resposta

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (3)/(2) (1 - sen 1)

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