Enunciado

Use a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.

∬ S 4 - x 2 y 2 d A ,   S = x , y | x 2 + y 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O objetivo da questão é utilizar a propriedade 11 para estimar o valor da integral. Temos que a propriedade é dada por:

S e   m ≤ f x , y ≤ M   p a r a   t o d o   x , y   e m   D ,   e n t ã o :

m A D ≤ ∬ D f x , y d A ≤ M A ( D )

Passo 2

Vamos resolver a integral a partir da propriedade:

m A S ≤ ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ≤ M A ( S )  

Seja A ( S ) a área da região S , temos que:

A S = π 2

O menor valor para m é quando f = f 2 , 2 com x ≥ 0 . Logo:

f 2 , 2 = 0

m = 0

O maior valor para M é quando f = f 0,1 = f 1,0 = f 0 , - 1 . Logo:

f 0,1 = f 0 , - 1 = f ( 1,0 ) = 4

M = 2

Temos:

0 ≤ 4 - x 2 y 2 ≤ 2

Aplicando à propriedade, temos:

0 π 2 ≤ ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ≤ 2 π 2

Logo:

0 ≤ ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ≤ π

Resposta

0 ≤ ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ≤ π

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