Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y

C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o segmento de reta de ( 1,1 ) para ( 0,1 ) e de ( 0,1 ) para ( 0,0 ) .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∬ ∂ ∂ x x y - ∂ ∂ y x 2 y 2 d A

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 ( y - 2 x 2 y ) d y d x

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 y 2 2 - 2 x 2 y 2 2 x 2 1 d x

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 x 6 - 1 2 x 4 - x 2 + 1 2 d x

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 1 7 x 7 - 1 10 x 5 - 1 3 x 3 + 1 2 x 0 1

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 1 7 - 1 10 - 1 3 + 1 2 = 22 105

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 2 3

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Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s θ ,y = 2 s e n θ .
8. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( x 2 + 4 x y , 2 x 2 + 2 x + y 2 ) e C é a elipse x 2 + 4 y 2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n