Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 4b
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
consiste num arco de parábola indo de para e o segmento de reta de para e de para .
Passo 1
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
Passo 2
Usando o Teorema de Green, podemos escrever:
Resposta
A integral de linha é igual a:
Exercícios de Livros Relacionados
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s θ ,y = 2 s e n θ .
8. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( x 2 + 4 x y , 2 x 2 + 2 x + y 2 ) e C é a elipse x 2 + 4 y 2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n