Enunciado

Encontre o valor do número a de tal modo que as famílias das curvas y = x + c - 1 e y = a x + k 1 / 3 sejam trajetórias ortogonais.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de a sabendo que as duas famílias das curvas

y = x + c - 1

e

y = a x + k 1 3

têm trajetórias ortogonais.

E trajetórias ortogonais nada mais são do que uma família de curvas que corta uma outra família de curvas de maneira ortogonal (perpendicular).

E veremos isso verificando se as retas tangentes a elas são perpendiculares.

Isso acontece quando o produto entre essas retas os coeficientes angulares das restas é igual a - 1 .

Ou melhor dizendo, quando:

m 1 = - 1 m 2

Então:

m 1 ⋅ m 2 = - 1

Tá, mas quem são essas retas? Nada mais, nada menos que as derivadas das nossas curvas, certo?

Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de cada uma das funções, multiplicar esse resultado e igualar a - 1 . Como o enunciado já nos garante que elas são ortogonais, essa igualdade é verdade.

Daí, basta isolar a na expressão para encontrarmos o valor procurado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y = x + c - 1 . E pra isso usamos a regra do expoente. Assim, sua derivada será:

y ' = - x + c - 2

Beleza! Agora vamos verificar a derivada de y = a x + k 1 / 3 . Usando a mesma regra, teremos:

y ' = 1 3 a x + k - 2 / 3

Tranquilinho, né?

Passo 3

Agora vamos verificar a condição de perpendicularidade.

Como as curvas são ortogonais, o produto das equações deve ser igual a - 1 , e temos:

- x + c - 2 ⋅ 1 3 a x + k - 2 3 = - 1

Rearranjando a equação:

- 1 x + c 2 ⋅ a 3 x + k 2 3 = - 1

Isolando a :

a = 3 x + c 2 x + k 2 3

Passo 4

Agora como y = x + c - 1 , elevando ao quadrado, temos que:

y 2 = x + c - 2

Da mesma forma, para y = a x + k 1 / 3 , temos:

y 2 = a 2 x + k 2 / 3

Substituindo isso na expressão que encontramos no passo 2 , vamos ter:

a = 3   1 y 2 y a 2

Simplificando:

a = 3 1 a 2

E isolando a , temos:

⇒ a 3 = 3

⇒ a = 3 3

E esse precisa ser o valor de a para atender as condições de perpendicularidade.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 3 3

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