Encontre a derivada da função.

F x = ∫ x x ² e t ² . d t

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar a derivada de:

F x = ∫ x x ² e t ² . d t

Para isso vamos usar a parte 1 do teorema fundamental do cálculo, que diz que:

g x = ∫ a x f t d t  

Então:

g ' x = f ( x )

Ou seja:

g ' x = d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Para aplicar o teorema vamos precisar deixar a nossa expressão o mais parecida possível com a forma geral ∫ a x f t d t . Podemos começar fazendo:

∫ x x ² e t ² . d t = ∫ x 0 e t ² . d t + ∫ 0 x ² e t ² . d t

Podemos também fazer:

∫ x 0 e t ² . d t = - ∫ 0 x e t ² . d t

Opa! Já melhorou bastante. Ficamos com:

F x = - ∫ 0 x e t 2 . d t + ∫ 0 x ² e t ² . d t

Agora podemos tratar das duas integrais separadamente e depois juntar tudo!

Passo 2

Começando por:

h x = - ∫ 0 x e t ² . d t

Comparamos com o teorema fundamental do cálculo:

g ' x = d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Assim temos:

h '     x = - e x 2

Ok! Finalizamos a primeira integral!

Passo 3

Agora vamos pra outra parte da integral:

g x = ∫ 0 x ² e t ² . d t

O limite superior da integral não se encaixa com o modelo ∫ a x f t d t para resolver isso podemos fazer uma substituição:

u = x ²

Ficamos com:

g x = ∫ 0 u e t ² . d t

Percebe que temos 3 variáveis ali em cima? x , u e t ?! Então para derivar g ( x ) vamos precisar usar a regra da cadeia:

g ' x = d g d x = d g d u × d u d x

Lá em cima definimos que u = x 2 então:

d u d x = 2 x

Podemos escrever d g d u :

d g d u = d d u ∫ 0 u e t ²   d t

Substituindo na regra da cadeia teremos:

g ' x = d g d x = d d u ∫ 0 u e t ²   d t × 2 x

Passo 4

Chegamos na derivada de g ' ( x ) , agora vamos precisar comparar com o teorema e ver que podemos concluir:

g ' x = d d u ∫ 0 u e t ²   d t × 2 x

g ' x = d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Vamos olhar só pra essa parte do meio que se encaixa com o teorema:

d d u ∫ 0 u e t ²   d t

Por comparação podemos dizer que:

d d u ∫ 0 u e t ²   d t = f u = e u 2

Agora podemos voltar pra nossa derivada principal e substituir essa informação:

g ' x = e u 2 × 2 x

Agora podemos voltar pra variável original:

g ' x = e x 2 2 × 2 x

g ' x = 2 x e x 4

Ufaa! Agora é só juntar!

F ' x = - e x ² + 2 x e x 4

Prontinhoo!

Resposta

F ' x = - e x ² + 2 x e x 4

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