Enunciado

Se x y + e^y = e , encontre o valor de y ' ' no ponto onde x = 0 .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos a derivada segunda no ponto x = 0 da seguinte expressão:

x y + e^y = e

Com isso, devemos derivar implicitamente nossa equação.

Em outras palavrvas, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada (d y)/(d x) (ou y^' ).

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Se x = 0 na equação x y + e^y = e , então, nós temos que:

0 + e^y = e

Isso implica que:

y = 1

E o ponto onde x = 0 é:

( 0,1 )

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a x , temos:

x y^' + y * 1 + e^y y^' = 0

Substituindo pelos pontos que encontramos: {[[x = 0],[y = 1]]) , nós ficamos com:

0 + 1 + e y^' = 0

=> e y^' = - 1

O que nos dá que:

y^' = - (1)/(e)

Passo 4

Agora, precisamos derivar novamente, ou seja, vamos derivar a equação x y^' + y * 1 + e^y y^' = 0 em relação a x e isso nos dá que:

x y^(' ') + y^' * 1 + y^' + e^y y^(' ') + y^' * e^y y^' = 0

Agora faremos as seguintes substituições: {[[x = 0],[y = 1],[y^' = - (1)/(e)]]) . Então, ficamos com:

0 + (- (1)/(e)) + (- (1)/(e)) + e y^(' ') + (- (1)/(e)) (e) (- (1)/(e)) = 0

Isso implica que:

- (2)/(e) + e y^(' ') + (1)/(e) = 0

=> e y^(' ') = (1)/(e)

E isso nos dá que:

y^(' ') = (1)/(e^2)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^(' ') = (1)/(e^2)

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