Enunciado

Encontre os valores das funções nos Exercicios 47-50.

48. cos 2 ⁡ 5 π 12

Passo 1

Se a gente aplicar as fórmulas de arco metade vamos obter uma função mais fácil de ser calculada.

As fórmulas para o arco metade são:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo na fórmula:

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 1 + cos ⁡ 2 5 π 12 2

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 1 + cos ⁡ 5 π 6 2

Passo 2

Como cos ⁡ 5 π 6 não é uma resposta obvia, podemos usar as fórmulas para adição.

Sabendo que

π 2 + π 3 = 5 π 6

e

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A cos ⁡ B - sen ⁡ A sen ⁡ B

temos,

cos ⁡ π 2 + π 3 = cos ⁡ π 2 ⋅ cos ⁡ π 3 - sen ⁡ π 2 ⋅ sen ⁡ π 3

cos ⁡ π 2 + π 3 = 0 ⋅ 1 2 - 1 ⋅ 3 2

cos ⁡ π 2 + π 3 = - 3 2

Portanto

cos ⁡ 5 π 6 = - 3 2

Passo 3

Agora que temos o valor do cos ⁡ 5 π 6 , podemos continuar a conta do Passo 1:

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 1 + - 3 2 2

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 2 - 3 2 2

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 2 - 3 4

Resposta

cos 2 ⁡ 5 π 12 = 2 - 3 4

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