Calcule as integrais.

Passo 1

Olhando para essa parada dá ate medo né?

Mas se a gente pensar um pouquinho a mais, dá pra lembrar de uma identidade trigonométrica que diz o seguinte:

1 + c o s 2 θ 2   = cos 2 ⁡ θ     ⟹   1 + c o s 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ

O que é bem parecido com nosso problema né? Mas o nosso argumento do cosseno deveria aparecer 2 multiplicando alguma coisa, que deveria ser igual ao nosso argumento. Ou seja,

t 2 = 2   k   ⟹ t 4  

Passo 2

Então, se a gente comparar com a identidade, nosso θ = t 4 . Então vamos substituir essa merda logo né?

∫   1 + cos ⁡ t 2   d t = ∫ 2 cos 2 ⁡ t 4     d t =   ∫   2   | cos ⁡ t 4 |   d t

Perceba que ficou em módulo, pois tiramos da raiz, e claro, não calculamos raiz de números negativos.

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

∫   2   | cos ⁡ t 4 |   d t =   =   4   2   s e n   1 4 +   C  

Resposta

∫   1 + cos ⁡ t 2   d t =   4   2   s e n   1 4 +   C    

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