Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?

f x = x + 1 - x

Passo 1

Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda:

f ' x = 1 - 1 2 1 - x

E

f ' ' x = - 1 4 1 - x 3 2

Os pontos críticos são:

f ' x = 1 - 1 2 1 - x = 0

1 = 1 2 1 - x

2 1 - x = 1

1 - x = 1 2

x = 5 4 ou x = 3 4

E como f está definida pela raiz 1 - x então: x < 1 , logo, x = 5 4 > 1 não é ponto crítico de f .

Passo 2

Teste da Derivada Primeira:

Precisamos analisar o sinal da derivada primeira para x < 1 :

f ' x = 1 - 1 2 1 - x < 0

1 < 1 2 1 - x

2 1 - x < 1

1 - x < 1 2

3 4 < x < 1

E

f ' x = 1 - 1 2 1 - x > 0

1 > 1 2 1 - x

2 1 - x > 1

1 - x > 1 2

x < 3 4

Logo, f é crescente no intervalo - ∞ , 3 4 e decrescente no intervalo ( 3 4 , 1 ) , então o ponto x = 3 4 é máximo local pois f cresce até ele e decresce a partir dele.

Passo 3

Teste da Derivada Segunda:

Se o ponto crítico é x = 3 4 e

f ' 3 4 = 0

f ' ' 3 4 = - 1 4 1 - 3 4 3 2 = - 2

Então x = 3 4 é máximo local pois f ' 3 4 = 0 e f ' ' 3 4 > 0 .

Resposta

x = 3 4 é máximo local

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Determine os valores extremos absolutos e onde eles ocorrem.
Determinar a partir do gráfico se a função possui algum valor extremo absoluto em [ a ,b ] . Em seguida, justifique sua resposta com base no Teorema 1.
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