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Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no intervalo 0,1 , tem extremidades 0,0 e 1,1 e é contínua, crescente e côncava para cima. Os pontos sobre essa curva são determinados classificando-se todas as famílias pela renda e então calculando a porcentagem de famílias cuja renda é menor ou igual a uma porcentagem dada da renda total do país. Por exemplo, o ponto a 100 , b 100 está sobre a curva de Lorenz se a % de famílias recebe menos do que ou igual a b % da renda total. A igualdade absoluta da distribuição de renda ocorreria se a parte mais baixa a % das famílias recebesse a % da renda e, nesse caso, a curva de Lorenz seria a reta y = x . A área entre a curva de Lorenz e a reta y = x mede quanto a distribuição de renda difere da igualdade absoluta. O coeficiente de desigualdade é a razão da área entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a área sob y = x .

  1. Mostre que o coeficiente de desigualdade é o dobro da área entre a curva de Lorenz e a reta y = x , isto é, mostre que o coeficiente de desigualdade = 2 ∫ 0 1 x - L x d x
  2. A distrubuição de renda para um certo país está representada pela curva de Lorenz definida pela equação

L x = 5 12 x 2 + 7 12 x

Qual a porcentagem da renda total recebida pelas 50 % das famílias que recebem menos? Encontre o coeficiente de desigualdade.

Passo 1

  1. Temos que o coeficiente de desigualdade é a razão da área entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a área sob y = x , vamos achar a área entre a curva de Lorenz e a reta y = x subtraindo a área abaixo de y = L x e abaixo de y = x :
  2. ∫ 0 1 x - L x d x

    Temos então que o coeficiente de desigualdade é:

    ∫ 0 1 x - L x d x ∫ 0 1 x d x = ∫ 0 1 x - L x d x x 1 + 1 1 + 1 0 1 = ∫ 0 1 x - L x d x x 2 2 0 1 = ∫ 0 1 x - L x d x 1 2 2 - 0 2 2 = ∫ 0 1 x - L x d x 1 2 = 2 ∫ 0 1 x - L x d x

    Passo 2

  3. Para achar a porcentagem da renda total recebida pelas 50 % das famílias que recebem menos é só fazer L 50 % = L 0,5 :

L 0,5 = 5 12 0,5 2 + 7 12 0,5 = 19 48 = 0,3958 3 -

Assim, as 50 % das famílias que recebem menos recebem 40 % da renda total.

Para achar o coeficiente de desigualdade devemos resolver a integral:

2 ∫ 0 1 x - L x d x = 2 ∫ 0 1 x - 5 12 x 2 + 7 12 x d x = 2 ∫ 0 1 5 12 x 2 + 5 12 x d x = 2 ∫ 0 1 - 5 12 x 2   d x + ∫ 0 1 5 12 x   d x

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ - 5 12 x 2 + 5 12 x   d x = ∫ - 5 12 x 2   d x + ∫ 5 12 x   d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Passo 3

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ - 5 12 x 2   d x = - 5 12 ∫ x 2   d x = - 5 12 ∙ x 2 + 1 2 + 1 = - 5 12 ∙ x 3 3 = - 5 x 3 36 + C

∫ 5 12 x d x = 5 12 ∫ x d x = 5 12 ∙ x 1 + 1 1 + 1 = 5 12 ∙ x 2 2 = 5 x 2 2 4 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

2 ∫ 0 1 - 5 12 x 2   d x + ∫ 0 1 5 12 x   d x = 2 - 5 x 3 36 0 1 + 5 x 2 24 0 1 = 2 - 5 . 1 3 36 - - 5 . 0 3 36 + 5 . 1 2 24 - 5 . 0 2 24 = 2 - 5 36 + 5 24 = 5 36

Resposta

(b) A porcentagem da renda total recebida pelas 50 % das famílias que recebem menos é de 40 % , e o coeficiente de desigualdade é 5 36 .

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